Chủ đề này có 1 trả lời

[anhquannbk]

Cho $A$ và $B$ là hai ma trận có tính chất $A^2=A, B^2=B$. Chứng minh rằng:

$A$ đồng dạng với $B$ khi và chỉ khi $rank(A)=rank(B)$

[LangTu Mua Bui]

Đầu tiên ta đi tìm trị riêng của dạng ma trận đặc biệt này 
Giả sử $\lambda ,x $ lần lượt là trị riêng và vector riêng của A  khi đó ta có biểu thức: 

$$ A^{2}x=Ax \Leftrightarrow \lambda^{2} x=\lambda x $$
$$\Rightarrow \lambda=1 ,\lambda=0$$

 

Hai ma trận là động dạng với nhau khi chúng là biểu diễn của cùng tự đẳng cấu $ f: V\rightarrow  V  $ .Chúng khác nhau do đối với cơ sở khác nhau .

Với $\lambda =1$ là toàn bộ không gian Imf,$\lambda=0 $ là toàn bộ không gian $kerf$ 
Mặt khác ta có định lý số chiều $dim(Imf)+dim(kerf )=n $ Vì thế chúng thỏa mãn điều kiện số chiều nên chéo hóa được 

Và ma trận tương ứng là ma trận đường chéo có các phần tử là 0 và 1 thứ tự của chúng khác nhau tương ứng với cách sắp xếp các vector riêng .

 

VÌ thế 2 ma trận A và B đồng dạng nhau khi chúng có cùng hạng. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LangTu Mua Bui: 13-08-2018 - 18:24