1. Có $2n+1$ quả cầu với khối lượng là các số nguyên. Biết rằng cứ $2n$ quả cầu bất kì đều có thể chia thành hai nhóm, mỗi nhóm $n$ quả cầu sao cho tổng khối lượng của các quả cầu trong từng nhóm bằng nhau. Chứng minh rằng khối lượng của tất cả các quả cầu đều như nhau.
2. Trong một lớp có ít nhất 2 bạn quen nhau. Biết rằng nếu 2 bạn có cùng một số lượng người quen thì không có người quen chung. Chứng minh rằng trong lớp có bạn chỉ quen đúng một người.
3. Có $n$ bạn mỗi người cầm 1 quả bóng và chơi trò chơi chuyền bong theo qui tắc họ sẽ chuyền bóng của mình đến người đứng gần mình nhất. Chứng minh rằng không có bạn nào nhận được nhiều hơn $6$ quả bóng.
4. Trên các ô của bàn cờ hình vuông $n \times n$ viết một số nguyên không âm thỏa mãn điều kiện sau: Nếu tại một ô nào đó viết số 0 thì tổng các số được viết trong các ô cùng hàng và cùng cột với ô đó không nhỏ hơn $n$. Chứng minh rằng tổng của số được viết không nhỏ hơn $\dfrac{n^2}2$.
5. Trong một mặt phẳng, cho hữu hạn những điểm. Giữa mỗi cặp ba điểm có thể chọn được hai điểm mà có khoảng cách không lớn hơn 1cm. Chứng minh rằng tồn tại hai đường tròn có bán kính 1cm chứa tất cả những điểm đã cho.
