Chủ đề này có 7 trả lời

[Joslimit]

Cho $b; c$ thỏa mãn $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:

$x^{2}+bx+c=0(1)$

$x^{2}+cx+b=0(2)$

Mọi người giúp em giải với ạ, em bí quá rồi     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 24-09-2018 - 20:17

[ThuanTri]

phương trình (1) và (2) giống nhau mà

[Joslimit]

phương trình (1) và (2) giống nhau mà

thôi chết em nhầm xíu đợi em sửa rồi giúp em nhé

[ThuanTri]

Để (1) hoặc (2) có nghiệm ta cần chứng minh biệt thức delta của một trong hai phương trình đó không âm

$x^{2}+bx+c$ có $\Delta_{1} = b^{2}-4c$

$x^{2}+cx+b$ có $\Delta_{2} = c^{2}-4b$

Giả sử điều ngược lại tức là cả 2 delta đều âm

Suy ra $\Delta_{1}+\Delta_{2} = b^{2}+c^{2}-4(b+c) \leq 0$ (1)

Mà từ 1/b+1/c suy ra b+c = 1/2 bc                                        (2)

Từ 1 và 2 suy ra $(b-c)^{2} \leq 0$ (vô lý)

Vậy ít nhất 1 trong 2 phương trình có nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThuanTri: 12-08-2018 - 20:54

[Joslimit]

 

Để (1) hoặc (2) có nghiệm ta cần chứng minh biệt thức delta của một trong hai phương trình đó không âm

x2+bx+c=0x2+bx+c=0(1) có Δ=b2−4cΔ=b2−4c

 

x2+cx+b=0x2+cx+b=0(2) có Δ=c2−4bΔ=c2−4b

 

Ta cần chứng minh Δ1Δ1 hoặc Δ2Δ2≥0≥0

Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử cả hai phương trình đều vô nghiệm:

Δ1=b2−4c<0Δ1=b2−4c<0 và Δ2=c2−4b<0⇒Δ1+Δ2=(b2−4c)+(c2−4b)=b2+c2−4(b+c)<0(∗)Δ2=c2−4b<0⇒Δ1+Δ2=(b2−4c)+(c2−4b)=b2+c2−4(b+c)<0(∗)

Từ giả thiết ta có 1b+1c=121b+1c=12⇔b+c=12bc⇔b+c=12bc vì b và c khác 0

Suy ra: Δ1+Δ2=b2+c2−412bc=b2+c2−2bc=(b−c)2Δ1+Δ2=b2+c2−412bc=b2+c2−2bc=(b−c)2

Như vậy Δ1+Δ2=(b−c)2≥0Δ1+Δ2=(b−c)2≥0

Điều này chứng tỏ (∗)(∗) không thể xảy ra đồng nghĩa với giả thiết đưa ra là không thể xảy ra 

Từ đó suy ra một trong hai phương trình trên có nghiệm

 

Em đã được khai thông ạ, em cảm ơn bác nhiều nhé 

[ThuanTri]

bạn coi lại bản chỉnh sửa, mình đánh trên word rồi copy qua nên hơi lung tung

[Chickey]

 

Giả sử điều ngược lại tức là cả 2 delta đều âm

Suy ra $\Delta_{1}+\Delta_{2} = b^{2}+c^{2}-4(b+c) \leq 0$ (1)

Mà từ 1/b+1/c suy ra b+c = 1/2 bc                                        (2)

Từ 1 và 2 suy ra $(b-c)^{2} \leq 0$ (vô lý)

 

 

Âm mà. Sao lại bằng không. Đi thi là quẹt đó.      

[ThuanTri]

sorry, do thói quen