Chủ đề này có 1 trả lời

[0932032656]

Cho hai số dương a,b. CMR : $\frac{a^2 + b^2}{ab}$ +$\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}$ $\geq$ 3

[Kim Shiny]

Ta có: $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\Rightarrow \frac{1}{ab} \geq \frac{4}{(a+b)^2} \Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab} \geq \frac{4(a^2+b^2)}{(a+b)^2}$

    Và $\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}= \frac{2\sqrt{ab}(a+b)}{(a+b)^2}\geq \frac{2\sqrt{ab} .2\sqrt{ab}}{(a+b)^2}=\frac{4ab}{(a+b)^2}$

   $\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}\geq \frac{4(a^2+b^2)}{(a+b)^2}+\frac{4ab}{(a+b)^2}=\frac{3(a^2+b^2)+(a^2+b^2)+4ab}{(a+b)^2}\geq \frac{3(a^2+b^2)+2ab+4ab}{(a+b)^2} = \frac{3(a^2+b^2+2ab)}{(a+b)^2}=3\Rightarrow$ đpcm

 Dấu "=" xảy ra khi a=b

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kim Shiny: 17-08-2018 - 21:32