Chứng minh rằng nếu $x+y+z=a$ và $\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{a}$ thì tồn tại một trong ba số $x$, $y$, $z$ bằng $a$.
#1
Đã gửi 16-08-2018 - 21:05
#2
Đã gửi 16-08-2018 - 21:16
$a\neq 0 =>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}$
$=>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{z}=>\frac{x+y}{xy}=\frac{-x-y}{z(x+y+z)}=>\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz(x+y+z)}=0$
Từ đó nên hoặc x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc z+x=0
=> đfcm
WangtaX
#3
Đã gửi 16-08-2018 - 21:19
Chứng minh rằng nếu $x+y+z=a$ và $\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{a}$ thì tồn tại một trong ba số $x$, $y$, $z$ bằng $a$.
Điều kiện: $a\ne 0$.
Từ giả thiết ta suy ra được: $\frac{1}{x+y+z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$.
$\iff \frac{1}{x+y+z}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}$.
$\iff (x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz(1)$.
Khi đó, ta đi tính: $(x-a)(y-a)(z-a)=xyz-a(xy+yz+zx)+a^2(x+y+z)-a^3$.
$=(x+y+z)(xy+yz+zx)-a(xy+yz+zx)+a^2(x+y+z-a)(\text{ do (1) })$.
$=(xy+yz+zx+a^2)(x+y+z-a)=0$.
Do đó ta có điều phải chứng minh.
- Duy Thai2002 yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phân thức, thcs
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
CMR: $\left ( \frac{x^2}{a} \right )^n+\left ( \frac{y^2}{b} \right )^n=\frac{2}{(a-b)^n}$Bắt đầu bởi Duc3290, 01-05-2024 biến đổi đại số, phân thức và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$3abc+\sum a\sqrt{\frac{b^{4}+c^{4}}{2}} \leq \sum a^{2}(b+c)$Bắt đầu bởi kakachjmz, 28-04-2024 thcs, hsg9, bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $abc(a-1)(b-1)(c-1)\leq 8$Bắt đầu bởi kakachjmz, 27-04-2024 thcs, toán chuyên, hsg 9, bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tính $P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$Bắt đầu bởi kakachjmz, 27-04-2024 tính biểu thức, toán chuyên và . |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Tìm vị trí 3 điểm $A;M;N$ sao cho $AM+AN$ $Min$Bắt đầu bởi kakachjmz, 26-04-2024 thcs, toán chuyên, hsg 9 và . |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh