1 reply to this topic

[tkzThai]

Các biểu thức $x+y+z$ và $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$ có thể cùng có giá trị bằng $0$ được hay không?

[tritanngo99]

Các biểu thức $x+y+z$ và $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$ có thể cùng có giá trị bằng $0$ được hay không?

Điều kiện xác định: $x,y,z\ne 0$.

Giả sử tồn tại các giá trị $x,y,z$ sao cho $x+y+z=0(1)$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0(2)$

Từ $(1)\implies x+y=-z(3)$.

Từ $(2)\implies \frac{x+y}{xy}=\frac{-1}{z}(4)$.

Nhân $(3)(4)$ vế theo vế ta được: $\frac{(x+y)^2}{xy}=1(*)$.

Mặt khác ta lại có bất đẳng thức quen thuộc: $\frac{(x+y)^2}{xy}\ge 4\iff (x-y)^2\ge 0$

Do đó không có giá trị nào của $x,y$ thỏa mãn đẳng thức (1).

Vậy điều giả sử trên là không đúng hay $x+y+z$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ không đồng thời bằng $0$