Chủ đề này có 1 trả lời

[tr2512]

Bài 10: Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab} \geqslant \dfrac{3(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)}$$
$$\text{- Phạm Hữu Đức -}$$

[binhnhaukhong]

Bài 10: Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab} \geqslant \dfrac{3(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)}$$
$$\text{- Phạm Hữu Đức -}$$

Nhân cả 2 vế BĐT cần chứng minh với $ab+bc+ac$:

 

$$\frac{a(b+c)+bc}{a^2+bc}+\frac{b(a+c)+ac}{b^2+ac}+\frac{c(a+b)+ab}{c^2+ab}\geq \frac{3(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}$$

 

BĐT trên là tổng của 2 BĐT sau:

 

$$\frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(a+c)}{b^2+ac}+\frac{c(a+b)}{c^2+ab}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2} (1)$$

 

và

 

$$\frac{bc}{a^2+bc}+\frac{ac}{b^2+ac}+\frac{ab}{c^2+ab}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)} (2)$$

 

(1) có thể chứng minh bằng Vornicu Schur, (2) có thế dùng Cauchy- Schwarz để chứng minh.

 

Nếu nhân cả 2 vế với $(a^2+b^2+c^2)$:

 

$$\frac{b^2+c^2-bc}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2-ac}{b^2+ac}+\frac{a^2+b^2-ab}{c^2+ab}+3\geq \frac{3(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}$$

 

Mà $\sum \frac{b^2+c^2-bc}{a^2+bc}\geq \frac{(2a^2+2b^2+2c^2-ab-bc-ac)^2}{\sum (a^2+bc)(b^2+c^2-bc)}$

 

Cũng cho kết quả đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 24-08-2018 - 17:20