Lời giải bài 113: Hạ $AF$ và $CG$ cùng vuông góc với $BD,CH$ vuông góc với $AE$, ta có: $\triangle{ABF}=\triangle{CAH}$ (cạnh huyền và góc nhọn) suy ra $AF=CH$. $\triangle{ADF}=\triangle{CDG}$ (cạnh huyền và góc nhọn) suy ra $AF=CG$, suy ra $CH=CG\implies \angle{CEH}=\angle{CEG}$.
Vì vậy $\angle{EBC}+\angle{ECB}=\angle{EAC}+\angle{ECA}$ (tính chất góc ngoài của tam giác).
hay $\angle{EBC}+\angle{ECB}=\angle{EBA}+\angle{ECA}(1)$.
Mặt khác, $\angle{EBA}+\angle{EBC}=\angle{ECB}+\angle{ECA}(2)$.
Lấy $(1)$ trừ $(2)$ theo từng vế, ta được: $\angle{ECB}-\angle{EBA}=\angle{EBA}-\angle{ECB}\implies \angle{EBA}=\angle{ECB}$.
Vậy $\angle{DAE}=\angle{ECB}$(đpcm).
Lời giải bài 114: Giả sử tồn tại tam giác vuông có số đo chiều dài các cạnh $a,b,c$ ($a$ là cạnh huyền) là số nguyên mà số đo diện tích $S$ là số chính phương, nghĩa là $a^2=b^2+c^2$ và $bc=2S=2k^2$ ($k$ nguyên dương). Xét tam giác thỏa mãn điều kiện đó mà có cạnh huyền nhỏ nhất và $a,b,c$ đôi một nguyên tố cùng nhau( vì nếu $a,b,c$ có ước chung lớn hơn $1$ thi chia chúng cho ước chung đó). Vậy có số nguyên dương $m,n$ khác tính chẵn lẽ, nguyên tố cùng nhau mà $a=m^2+n^2,b=m^2-n^2,c=2mn$ (theo Phương pháp lùi vô hạn).
Từ $S=\frac{bc}{2}$ suy ra: $(m+n)(m-n)mn=k^2$.
Vì $(m,n)=1$ và $m,n$ khác tính chẵn lẻ nên $(m+n,m)=(m+n,n)=(m-n,m)=(m-n,n)=1$.
Gọi $d=(m+n,m-n)$ thì $d$ lẻ là ước của $2m,2n$ nên $d=1$. Vậy $m+n,m-n,m,n$ đôi một nguyên tố cùng nhau mà tích của chúng bằng $k^2$ nên ( theo sự phân tích ra thừa số nguyên tố) có $4$ số nguyên dương $x,y,z,t$ thỏa mãn: $m+n=x^2,m-n=y^2,m=z^2,n=t^2$. Suy ra:
$\left\{\begin{array}{I} (x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)=4m=(2z)^2\\ (x+y)(x-y):2=(x^2-y^2):2=n=n=t^2\\2z=2\sqrt{m}<m^2<m^2+n^2=a(m\ge 2)\end{array}\right.$
Vậy tam giác vuông cạnh $2z,x+y,x-y$ có số đo diện tích là số chính phương mà cạnh huyền $2z<a$ vô lí.
Vậy diện tích tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên không thể là số chính phương.
Lời giải bài 115: Để viết gọn, ta đặt $F(t)=(2+m)t^2-3t+m$ và $G(t)=(2+m)t^2-4t+m$.
Điều kiện cần. Nếu $(x_0,y_0,z_0)$ là một nghiệm của hệ thì $(z_0,x_0,y_0)$ cũng là nghiệm, do đó, từ giả thiết duy nhất, ta có: $x_0=y_0=z_0$. Vậy nghiệm của hệ đang xét cũng là nghiệm của phương trình sau: $x^2=(2+m)x^3-3x^2+mx$ hay $xG(x)=0$(4).
Dễ thấy $(x,y,z)=(0,0,0)$ là nghiệm của hệ. Từ tính duy nhất của nghiệm và từ $(4)$ suy ra $G(x)\ne 0$ với mọi $x$ vì nếu $0=G(0)=m$ thì $G(x)$ còn có nghiệm $x=2$ nữa. Suy ra $\Delta_{G}=4-m(m+2)<0$. Giải bất phương trình này ta được $m<-1-\sqrt{5}$ hoặc $m>-1+\sqrt{5}$(*).
Điều kiện đủ. Ta sẽ chứng minh $(*)$ cũng là điều kiện đủ. Từ điều kiện $(*)$ suy ra $G(t)\ne 0$ với mọi $t$ và $(2+m)G(t)>0$ với mọi $t$(5).
Cũng từ điều kiện $(*)$ có $\Delta_{F}=3^2-4m(m+2)<0$ và $(2+m)F(t)>0$ với mọi $t$. Xét $PT(1)$ có $xF(x)=z^2>0$ với mọi $x$ suy ra $(2+m)x\ge 0$. Từ đó và $(5)$ suy ra $xG(x)\ge 0$ với mọi $x$.
Xét tương tự PT(2),PT(3) cũng có $yG(y)\ge 0$ và $zG(z)\ge 0$ với mọi $y,z$. Cộng theo từng vế của ba phương trình $(1),(2),(3)$ của hệ ta có: $xG(x)+yG(y)+zG(z)=0(6)$.
Vế phải của $(6)$ là tổng ba số không âm do đó $xG(x)=yG(y)=zG(z)=0$. Vì $G(t)\ne 0$ với mọi $t$ nên $x=y=z=0$ và hệ có nghiệm duy nhất.
Kết luận. Điều kiện cần và đủ để hệ có nghiệm duy nhất là $m<-1-\sqrt{5}$ hoặc $m>-1+\sqrt{5}$.
Lời giải bài 116: $5xyz=x+5y+7z+10(1)$
+Với $x=1$ thì $(1)$ trở thành: $5xyz=5y+7z+11\iff (5y-7)(z-1)=18(2)$.
Vì $x,y,z$ nguyên dương và $5y-7$ chia cho $5$ dư $3$, nên
$(2)$ tương đương: $5y-7=3;z-1=6\iff (y;z)=(2;7)$ hoặc $5y-7=18;z-1=1\iff (y;z)=(5;2)$.
+Với $x\ge 2$, ta thấy:
$(1)\iff 5y+7z+10=x(5yz-1)\ge 2(5yz-1)$.
Dẫn đến $10yz-5y-7z-12\le 0\iff (10y-7)(2z-1)\le 31(3)$.
$\implies y\le 3$.
*) Khi $y=1$, từ $(1)$ có $5xz=x+7z+15\iff (5x-7)(5z-1)=82$. Dễ thấy phương trình này không có nghiệm nguyên dương $x,z$.
*) Khi $y=2$, từ $(3)$ suy ra $z=1$, thay vào $(1)$ ta tìm được $x=3$.
*) Khi $y=3$, từ $(3)$ suy ra $z=1$, thay vào $(1)$ ta được: $x=\frac{32}{14}\notin \mathbb{Z^+}$(loại).
Vậy các bộ ba số nguyên dương $(x;y;z)$ cần tìm là :$(1;2;7),(1;5;2);(3;2;1)$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 26-10-2018 - 18:28