Lời giải bài 189: Nếu $p=2$ thì mọi $n$ chẵn đều thỏa mãn điều kiện đề bài nên không mất tính tổng quát nếu ta giả sử $p>2$. Khi đó theo đính lý nhỏ của Fermat, $2^{m}(p-1)\equiv 1(\text{ mod }p)$.
Lấy $n=m(p-1)$ với $m\equiv -1 (\text{ mod }p)$ ta có: $n=m(p-1)\equiv 1(\text{ mod }p)$ và $2^{n}-n\equiv 2^{n}-1\equiv 0(\text{ mod }p)$.
Lời giải bài 190:
i) Giả sử $a$ và $b$ là các số nguyên và $(a,b)=d$. Giả sử $e$ là một ước chung dương của $\frac{a}{d}$ và $\frac{b}{d}:e|(\frac{a}{d}),e|(\frac{b}{d})$. Khi đó tồn tại các số nguyên $k$ và $l$ sao cho $\frac{a}{d}=ke,\frac{b}{d}=le$ tức là $a=dek,b=del$. Do đó $de$ là ước chung của $a$ và $b$. Vì $d$ là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$ nên $e=1$. Vậy $(\frac{a}{d};\frac{b}{d})=1$.
ii) Ta có nhận xét sau: Giả sử $a,b,c,m$ và $n$ là các số nguyên. Nếu $c|a$ và $$c|b thì $c| ma+nb$.
Giả sử $a,b,c$ là các số nguyên. Ta sẽ chỉ ra rằng, các ước chung của $a$ và $b$ hoàn toàn trùng với ước chung của $a+cb$ và $b$, từ đó suy ra $(a+cb,b)=(a,b)$. Giả sử $e$ là một ước chung của $a$ và $b$. Do nhận xét trên suy ra $e| (ca+b)$ nên $e$ là ước chung của $a+cb$ và $b$. Ngược lại, giả sử $f$ là ước chung của $a+cb$ và $b$. Khi đó $f|[(a+cb)-cb]$, tức là $f|a$. Vậy $f$ là ước chung của $a$ và $b$.
Lời giải bài 191:
Chứng minh: Vì $I$ là tâm tỉ cự của hệ điểm nên $\sum \limits_{i=1}^{n}a_i\vec{IA_i}=\vec{0}$. Do đó:
$\sum \limits_{i=1}^{n}a_iMA_i^2=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i(\vec{MI}+\vec{IA_i})^2=\sum \limits_{i=1}^{n}a_iIA_i^2+2\vec{MI}\sum \limits_{i=1}^{n}a_i\vec{IA_i}+MI^2\sum \limits_{i=1}^{n}a_i=\sum \limits_{i=1}^{n}a_iIA_i^2+MI^2\sum \limits_{i=1}^{n}a_i$.
Định lý Leibnitz: Gọ $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $M$ là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng. Ta có: $MG^2=\frac{1}{3}(MA^2+MB^2+MC^2)-\frac{1}{9}(AB^2+BC^2+CA^2)$.
Lời giải bài 192: Gọi $P,Q,R,S$ lần lượt là các tiếp điểm của các đoạn thẳng $AB,BC,CD,DA$ đối với đường tròn $(O)$. Đặt $SA=AP=a, BP=BQ=b, CQ=CR=c, DR=DS=d$. Áp dụng định lý con nhím cho tứ giác $ABCD$ ta có:
$(a+b)\vec{OP}+(b+c)\vec{OQ}+(c+d)\vec{OR}+(d+a)\vec{OS}=\vec{0}$.
$\iff \sum (a+b)(\frac{b}{a+b}\vec{OA}+\frac{a}{a+b}\vec{OB})=\vec{0}$.
$\iff (b+d)(\vec{OA}+\vec{OC})+(a+c)(\vec{OB}+\vec{OD})=\vec{0}$.
Suy ra $2$ vector $\vec{OM},\vec{ON}$ cùng phương $\implies O,M,N$ thẳng hàng (đpcm).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 23-02-2019 - 16:28