Chủ đề này có 2 trả lời

[nhuleynguyen]

CMR $\forall n\in N, n\geq 2$, ta có $1+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}<2-\frac{1}{n}$

*****Chứng minh theo phương pháp quy nạp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhuleynguyen: 26-08-2018 - 16:24

[huykinhcan99]

Đầu tiên, với $i$ tự nhiên ta có

\[\dfrac{1}{i^2} < \dfrac{1}{i(i-1)} = \dfrac{i-\left(i-1\right)}{i(i-1)} = \dfrac{1}{i-1}-\dfrac{1}{i} \quad \left(2<i<n\right)\]

 

Khi đó ta có

\begin{equation} \tag{$\blacksquare$} 1+\dfrac{1}{2^2}+\ldots+\dfrac{1}{n^2} < 1+\left(1-\dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right) +\ldots +\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right)=2-\dfrac{1}{n}\end{equation}

[Chickey]

Quy nạp nè.

+Xét n=2, khi đó

1.25 < 1.5 (luôn đúng)

+Giả sử kết luận với n=k, khi đó:

$1+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}<2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^{2}}<2-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=2-\frac{1}{k+1}$

Suy ra kết luận đúng với n=k+1

Vậy....