Chủ đề này có 2 trả lời

[Khoa Linh]

Chứng minh dãy số sau là dãy số giảm $(U_n)$: $U_n=\left (1+\frac{1}{n} \right )^{n+1} $ với $n\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 28-08-2018 - 20:41

[Hr MiSu]

Mình đã cố gắng hết sức dùng bđt mà ko thành, đành phải xét hàm thôi

[Khoa Linh]

Mình đã cố gắng hết sức dùng bđt mà ko thành, đành phải xét hàm thôi

Em vừa nghĩ ra cách giải khác 

Ta đi chứng minh: $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n+1}>\left ( 1+\frac{1}{n+1} \right )^{n+2}\Leftrightarrow (n+1)^{2n+3}>n^{n+1}.(n+2)^{n+2}$

$\Leftrightarrow (n(n+2)+1)^{n+1}.(n+1)>(n(n+2))^{n+1}.(n+2)\Leftrightarrow \left ( 1+\frac{1}{n(n+2)} \right )^{n+1}>\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$

Áp dụng  BĐT Bernoulli ta có: 

$\left ( 1+\frac{1}{n(n+2)} \right )^{n+1}>1+\frac{n+1}{n(n+2)}$

vậy ta cần chứng minh: $\frac{n+1}{n(n+2)}>\frac{1}{n+1}\Leftrightarrow (n+1)^2>n(n+2)$ (đúng)