Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số $a_i \in$ {1;-1} có n nghiệm thức phân biệt

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
NguyenHoaiTrung

NguyenHoaiTrung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết

1.Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số $a_i \in$ {1;-1} có n nghiệm thực phân biệt

2. Tìm $a,b,c \in Z$ sao cho đa thức $P(x)=(x^2+ax+b).Q(x)$ là đa thức có hệ số 1 hoặc -1 (Q(x) là đa thức có hệ số nguyên)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 29-08-2018 - 22:12


#2
suckadick193

suckadick193

    Lính mới

  • Banned
  • 4 Bài viết

câu a  dùng viete là ra

n<=3



#3
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

1.Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số $a_i \in$ {1;-1} có n nghiệm thực phân biệt

 

ta có thể chọn đa thức như sau $\boxed{\mathcal{P}(x)=\left\{\begin{array}{lc} x-1&,n=1\\ x^2-x-1&,n=2 \end{array}\right.}$

gọi các nghiệm của đa thức $\mathcal{P}(x)$ là $x_1,x_2,...,x_n$ thì theo viet dễ thấy $\sum x_i,\sum x_ix_j,\prod x_i \in \left \{ -1,1 \right \}$

do đó ta có

$1=\left ( \sum x_i \right )^2\ge 2\sum x_ix_j\Rightarrow \sum x_ix_j=-1$

$\Rightarrow \sum x_i^2=\left ( \sum x_i \right )^2-2\sum x_ix_j=3$

từ đây thì ta đánh giá

$3=\sum x_i^2\ge n\sqrt[n]{\left ( \prod x_i \right )^2}=n$

tới đây cũng dễ nhận thấy các đa thức bậc $3$ không thỏa đề

 

2. Tìm $a,b,c \in Z$ sao cho đa thức $P(x)=(x^2+ax+b).Q(x)$ là đa thức có hệ số 1 hoặc -1 (Q(x) là đa thức có hệ số nguyên)

dễ thấy $b\in \left \{ -1,1 \right \}$, ta đặt

$\mathcal{P}(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0,\ \ \ a_i\in \left \{ -1,1 \right \}$

gọi $z$ là nghiệm (có thể phức) của $\mathcal{P}(x)$ sao cho $\left | z \right |\neq 1$ thì ta có

$\left | z \right |^n=\left | -\sum_{i=0}^{n-1} \frac{a_i}{a_n}z^i\right |\le \sum_{i=0}^{n-1}\left | z^i \right |=\frac{\left | z \right |^n-1}{\left | z \right |-1}$

$\Rightarrow \left | z \right |^n\left ( \left | z \right |-2 \right )\le -1\Rightarrow \left | z \right |< 2$

 

từ đây ta suy ra các nghiệm (có thể phức) của $\mathcal{P}(x)$ đều có $\left | z \right |<2$

gọi $x_1,x_2$ là nghiệm của $x^2+ax+b$ , giả sử $\left | x_1 \right |\le \left | x_2 \right |$ thì ta có

$\left | x_1 \right |.\left | x_2 \right |=\left | x_1x_2 \right |=\left | b \right |=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0< \left | x_1 \right |\le 1\\ 1\le \left | x_2 \right |<2 \end{matrix}\right.$

do vậy ta có $\left | a \right |=\left | x_1+x_2 \right |\le \left | x_1 \right |+\left | x_2 \right |<3\Rightarrow a\in \left \{ -2,-1,0,1,2 \right \}$

tới đây thử lại ta có các đa thức thỏa đề như sau

$\boxed{x^2+ax+b=\left\{\begin{array}{ll} x^2\pm 1&,Q(x)=1\\ x^2\pm x\pm 1&,Q(x)=1 \\ x^2\pm 2x+1&,Q(x)=x\mp 1 \end{array}\right.}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 06-09-2018 - 16:34

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh