1) Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a+b+c=1. Tìm hằng số k lớn nhất sao cho $a^3+b^3+c^3+kabc\geq \frac{1}{9}+\frac{k}{27}$
2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng $\frac{a^3}{1+9b^2ac}+\frac{b^3}{1+9c^2ba}+\frac{c^3}{1+9a^2bc}\geq \frac{(a+b+c)^3}{18}$
3) Cho a, b, c không âm sao cho không có hai số nào trong các số đó đồng thời bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+ab}$
4) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c: $\frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}+\frac{b(c+a)}{(c+a)^2+b^2}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^2+c^2}\leq \frac{6}{5}$
5) Cho x, y, z không âm. Chứng minh rằng $xyz+x^2+y^2+z^2+5\geq 3(x+y+z)$
6) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}+\frac{(a+c-b)^2}{(a+c)^2+b^2}+\frac{(c+b-a)^2}{(b+c)^2+a^2}\geq \frac{3}{5}$