Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $k\geqslant n.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết

Cho số nguyên dương $n>1.$ Biết rằng tồn tại các số nguyên dương $n_{1},n_{2},...,n_{k}$ sao cho $\sum_{m=1}^{k}2^{n_{m}}$ chia hết cho $2^{n}-1.$ Chứng minh rằng $k\geqslant n.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 04-09-2018 - 18:58


#2
Hr MiSu

Hr MiSu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết

Cho số nguyên dương $n>1.$ Biết rằng tồn tại các số nguyên dương $n_{1},n_{2},...,n_{k}$ sao cho $\sum_{m=1}^{k}2^{n_{m}}$ chia hết cho $2^{n}-1.$ Chứng minh rằng $k\geqslant n.$

Đây chẳng phải là trường hợp riêng của bài toán 49 trong TOPIC Hai bài toán mỗi ngày ư ;)

https://diendantoanh...e-4#entry715164


s2_PADY_s2

Hope is a good thing, maybe the best thing, and no good thing ever dies


#3
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Không biết bài trên tương tự bài 49 chỗ nào nhưng xin đưa ra một cách tiếp cận khác.

Không mất tính tổng quát, giả sử $n_{1}<n_{2}<n_{3}<...<n_{k}$

Giả sử $k< n$ 

*Giả sử $n_{k}< n$ $=>n_{k}\leq n-1$

Do $n_{k}>n_{k-1}$

$=> n_{k-1}\leq n-2$

Cứ lập luận như trên sẽ dẫn đến $n_{1}\leq n-k+1$ , $(n-k+1\geq 1)$

=>  $\sum_{m=1}^{k}2^{n_{m}}\leq 2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^{n-k+1}$

Mặt khác , từ gt :

$=> \sum_{m=1}^{k}2^{n_{m}}\geq 2^{n}-1=2^{n-1}+2^{n-2}+...+2+1$

$=> 2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^{n-k+1}\geq 2^{n-1}+2^{n-2}+...+2+1$ ( vô lí )

$=> n_{k}\geq n$

Nếu $n_{k-1}< n-1$ $<=> n_{k-1}\leq n-2$ thì theo như lập luận trên, $n_{k-2}\leq n-3$ và cứ lập luận tiếp tục như vậy sẽ dẫn tới $n_{1}\leq 0$

( vô lí theo gt)

Do đó, $n_{k-1}\geq n-1$, $n_{k-2}\geq n-2$,..., $n_{1}\geq 1$

Vậy phải có ít nhất $n$ số $n_{i}$, $i=\overline{1,k}$ thỏa yêu cầu bài toán hay $k\geq n$ (  vô lí theo điều giả sử)

Nên ta được $k\geq n$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duy Thai2002: 05-09-2018 - 15:47

Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh