Cho trước số nguyên dương $n.$ Có bao nhiêu đa thức $P(x)$ có các hệ số thuộc tập $S=\left \{ 0,1,2,3 \right \}$ và thỏa mãn điều kiện $P(2)=n.$
Có bao nhiêu đa thức $P(x)$ có các hệ số thuộc tập $S=\left \{ 0,1,2,3 \right \}$ và thỏa mãn điều kiện $P(2)=n.$
#1
Đã gửi 05-09-2018 - 14:05
#2
Đã gửi 05-09-2018 - 16:31
Cho trước số nguyên dương $n.$ Có bao nhiêu đa thức $P(x)$ có các hệ số thuộc tập $S=\left \{ 0,1,2,3 \right \}$ và thỏa mãn điều kiện $P(2)=n.$
Gọi các số của $x^0,x,x^2,...$ lần lượt là $a_0,a_1,a_2,...\in \mathcal{A}=\left \{ 0,1,2,3 \right \}$ ta cần tìm số nghiệm nguyên thuộc tập $\mathcal{A}$ thỏa mãn
$a_0+2a_1+4a_2+8a_3+...=n$
sử dụng hàm sinh ta có được số nghiệm cần tìm là hệ số của $x^n$ trong khai triển
$\begin{array}{cl} \mathcal{F}(x) &=\left ( x^{0.1}+x^{1.1}+x^{1.2}+x^{1.3} \right )\left ( x^{0.2}+x^{1.2}+x^{2.2}+x^{3.2} \right )\left ( x^{0.4}+x^{1.4}+x^{2.4}+x^{3.4} \right )...\\ \\&=\left ( 1+x+x^2+x^3 \right )\left ( 1+x^2+x^4+x^6 \right )\left ( 1+x^4+x^8+x^{12} \right )... \\ \\&=\frac{1-x^4}{1-x}.\frac{1-x^8}{1-x^2} .\frac{1-x^{16}}{1-x^4}... \\ \\&=\frac{1}{(1-x)(1-x^2)}\\ \\ &=(1+x+x^2+x^3+...)\left ( 1+x^2+x^4+x^6+... \right ) \end{array}$
tới đây trùng với khai triển của hàm sinh số nghiệm nguyên không âm của phương trình $a+2b=n$
tới đây thì dễ rồi và đáp số là $\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+1$
- Zz Isaac Newton Zz và Hr MiSu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh