cho x,y,z là 3 số dương x+y+z$\leq 1$
cm$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq \sqrt{82}$
cho x,y,z là 3 số dương x+y+z$\leq 1$
cm$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq \sqrt{82}$
áp dụng bđt mincopxki: $\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}$+$\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}$$\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z})^{2}}$
$\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+\frac{81}{(x+y+z)^{2}}}$ $\geq \sqrt{2+\frac{80}{(x+y+z)^{2}}}$ ( áp dụng bđt cauchy)
$\geq \sqrt{82}$ ( vì x+y+z $\leq 1$ )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi onpiece123: 13-09-2018 - 21:54
Cách khác:
Áp dụng bdt bunhiacopxki ta có
$\sqrt{\left ( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \right )\frac{82}{9}}.\frac{3}{\sqrt{82}}\geqslant \left ( \frac{x}{3}+\frac{3}{x} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$
$\sqrt{\left ( y^{2}+\frac{1}{y^{2}} \right )\frac{82}{9}}.\frac{3}{\sqrt{82}}\geqslant \left ( \frac{y}{3}+\frac{3}{y} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$
$\sqrt{\left ( z^{2}+\frac{1}{z^{2}} \right )\frac{82}{9}}.\frac{3}{\sqrt{82}}\geqslant \left ( \frac{z}{3}+\frac{3}{z} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$
Cộng theo vế lại ta được:
$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geqslant $ $\left ( \frac{x+y+z}{3}+3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$ $\geqslant \left ( \frac{x+y+z}{3}+\frac{27}{x+y+z} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
$ \left ( \frac{x+y+z}{3}+\frac{27}{x+y+z} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$= $\left ( \frac{x+y+z}{3}+\frac{1}{3\left (x+y+z \right )}+\frac{80}{3\left ( x+y+z \right )} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$ $\geqslant \left ( \frac{2}{3}+\frac{80}{3} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}=\sqrt{82}$ (Đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z= $\frac{1}{3}$ ^^
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Crab: 07-10-2018 - 16:00
Võ Sĩ Cua
Ta viết lại biểu thức $u= \sum\limits_{cyc}\sqrt{x^{2}+ \frac{1}{x^{2}}}$ dưới dạng:
$$u= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( x- \frac{1}{x} \right )^{2}}+ \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( y- \frac{1}{y} \right )^{2}}+ \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( z- \frac{1}{z} \right )^{2}}$$
Vì vậy trong mặt phẳng tọa độ $\text{Oxy}$ ta xét các điểm:
$$\text{O}\,\left ( 0,\,0 \right ),\,\text{A}_{1}\,\left ( \sqrt{2},\,\frac{1}{x}- x \right ),\,\text{A}_{2}\,\left ( 2\,\sqrt{2},\,\frac{1}{x}- x+ \frac{1}{y}- y \right ),\,\text{A}_{3}\,\left ( 3\,\sqrt{2},\,\frac{1}{x}- x+ \frac{1}{y}- y+ \frac{1}{z}- z \right )$$
Khi đó:
$$\left\{\begin{matrix} \text{OA}_{1}= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( x- \frac{1}{x} \right )^{2}}\\\ \\\ \text{OA}_{2}= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( y- \frac{1}{y} \right )^{2}}\\\ \\\ \text{OA}_{3}= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( z- \frac{1}{z} \right )^{2}} \end{matrix}\right.$$
Mặt khác, ta có: $\frac{1}{x}- x+ \frac{1}{y}- y+ \frac{1}{z}- z= \sum\limits_{cyc} \left (\frac{1}{x}+ 9\,x \right )- 10\,\sum\limits_{cyc}x\geqq 18- 10= 8$. Khi đó, ta luôn có:
$$u= \text{OA}_{1}+ \text{A}_{1}\text{A}_{2}+ \text{A}_{2}\text{A}_{3}\geqq \text{OA}_{3}\geqq \sqrt{\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2}+ 8^{2}}= \sqrt{82}$$
Dấu bằng xảy ra khi:
$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}= 9\,x,\,\frac{1}{y}= 9\,y,\,\frac{1}{z}= 9\,z\\ x+ y+ z= 1 \end{matrix}\right.$$
[mặt phẳng tọa độ $\text{Oxy}$!]
Ta viết lại biểu thức $u= \sum\limits_{cyc}\sqrt{x^{2}+ \frac{1}{x^{2}}}$ dưới dạng:
$$u= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( x- \frac{1}{x} \right )^{2}}+ \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( y- \frac{1}{y} \right )^{2}}+ \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( z- \frac{1}{z} \right )^{2}}$$
Vì vậy trong mặt phẳng tọa độ $\text{Oxy}$ ta xét các điểm:
$$\text{O}\,\left ( 0,\,0 \right ),\,\text{A}_{1}\,\left ( \sqrt{2},\,\frac{1}{x}- x \right ),\,\text{A}_{2}\,\left ( 2\,\sqrt{2},\,\frac{1}{x}- x+ \frac{1}{y}- y \right ),\,\text{A}_{3}\,\left ( 3\,\sqrt{2},\,\frac{1}{x}- x+ \frac{1}{y}- y+ \frac{1}{z}- z \right )$$
Khi đó:
$$\left\{\begin{matrix} \text{OA}_{1}= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( x- \frac{1}{x} \right )^{2}}\\\ \\\ \text{OA}_{2}= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( y- \frac{1}{y} \right )^{2}}\\\ \\\ \text{OA}_{3}= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( z- \frac{1}{z} \right )^{2}} \end{matrix}\right.$$
Mặt khác, ta có: $\frac{1}{x}- x+ \frac{1}{y}- y+ \frac{1}{z}- z= \sum\limits_{cyc} \left (\frac{1}{x}+ 9\,x \right )- 10\,\sum\limits_{cyc}x\geqq 18- 10= 8$. Khi đó, ta luôn có:
$$u= \text{OA}_{1}+ \text{A}_{1}\text{A}_{2}+ \text{A}_{2}\text{A}_{3}\geqq \text{OA}_{3}\geqq \sqrt{\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2}+ 8^{2}}= \sqrt{82}$$
Dấu bằng xảy ra khi:
$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}= 9\,x,\,\frac{1}{y}= 9\,y,\,\frac{1}{z}= 9\,z\\ x+ y+ z= 1 \end{matrix}\right.$$
[mặt phẳng tọa độ $\text{Oxy}$!]
topic trung học cơ sở mà anh dùng lời giải gắt thế anh
Võ Sĩ Cua
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh