Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

giới hạn của dãy $(a_n)$

giới hạn dãy số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 12-09-2018 - 22:33

Cho dãy số $(a_n)$ có $a_1,a_2>0$ và $a_{n+2}=\dfrac{2}{a_{n+1}+a_n}$. Tính giới hạn của dãy $(a_n)$


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#2 Sugar

Sugar

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết

Đã gửi 07-07-2019 - 17:19

Đầu tiên, ta sẽ chứng minh $(a_n)$ là dãy bị chặn. Ta có, nếu $\frac{1}{A}\leq a_n,a_{n+1}\leq A$ thì $\frac{1}{A}\leq\frac{2}{a_n+a_{n+1}}\leq A$ hay $\frac{1}{A}\leq a_{n+2}\leq A$. Bằng qui nạp, ta có điều phải chứng minh.

Gọi $l,L$ lần lượt là các giới hạn của $(a_n)$. Khi đó, với mọi $\varepsilon>0$, tồn tại $x_1,x_2\in\mathbb{N}$ sao cho $a_n<L+\varepsilon$ với mọi $n>x_1$ và $a_n>l-\varepsilon$ với mọi $n>x_2$. Lúc này, $a_{n+2}=\frac{2}{a_{n+1}+a_n} > \frac{1}{L+ \varepsilon}$ với mọi $n>x_1$. Với $\varepsilon$ đủ nhỏ thì ta có $l\geq\frac{1}{L}$. Tương tự, ta cũng có $L\leq\frac{1}{l}$. Vì vậy, $l\cdot L=1$.

Theo định lý Bolzano-Weierstrass, tồn tại dãy $(x_k)$ các số nguyên dương sao cho $\lim_{k \rightarrow \infty} a_{x_k +2}=L$. Ta có thể chọn sao cho $\{a_{x_k +1}\},\ \{a_{x_k}\},$ and $\{a_{x_k -1}\}$ hội tụ tại $l_1,l_2,l_3$.

Ta có được $l_1 +l_2=\frac{2}{L}=2l$ và $l_2 +l_3=\frac{2}{l_1}$. Vì $l \le l_1,\ l_2,\ l_3 \le L$ nên $l_1=l_2=l$ and $l_2 =l_3 = L$. Do đó ta có $l=L$. Vì vậy $(a_n)$ hội tụ tại $1$.







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh