Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Các bài toán tổ hợp và rời rạc qua các năm.

olympiad

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 13-09-2018 - 13:18

Bài 1: Cần ít nhất bao nhiêu hình vuông có cạnh bé hơn $1$ để phủ kín $1$ hình vuông có cạnh bằng $1$.

Bài 2: Trong $1$ hội nghị có $42$ người gồm nam và nữ. Trong số $31$ người bất kì, luôn tìm được $1$ đôi nam nữ quen nhau. Chứng minh rằng, trong số $42$ người đó luôn tìm được $12$ đôi nam nữ quen nhau.

Bài 3: Cho đa giác lồi gồm $2n$ đỉnh $a_1,a_2,...,a_{2n}$. Gọi $P$ là một điểm nằm trong đa giác nhưng không nằm trên đường chéo nào. Chứng minh rằng số tam giác có các đỉnh trong $a_1,a_2,...,a_{2n}$ có chứa điểm $P$ là một số chẵn.

Bài 4: Cho  bàn cờ vua có kích thước $1998X2002$, mỗi ô viết số $0$ hoặc $1$. Biết rằng số số $1$ ở mỗi hàng và cột là số lẻ. Chứng minh rằng, số ô trắng chứa $1$ là số chẵn.

Bài 5:Trong đa giác lồi $P$, có một vài đường chéo đã được vẽ, không có hai đường chéo nào trong chúng có điểm chung. Chứng minh rằng: Có ít nhất hai đỉnh của $P$ không nằm trên bất cứ đường chéo nào đã vẽ.

Bài 6: Cho $M$ là tập tất cả các điểm có tọa độ nguyên trong mặt phẳng. Vỡi mỗi $(x-1,y),(x+1,y),(x,y-1),(x,y+1)$ được gọi là kề với điểm $P$. Gọi $S$ là tập con hữu hạn khác rỗng của $M$, một song ánh $f:\mathbb{S}\to\mathbb{S}$ được gọi là hoàn hảo nếu $f(P)$ kề với $P$. Chứng minh: $g:\mathbb{S}\to\mathbb{S}$ với tính chất $g(g(P))=P(\forall P\in \mathbb{S})$ là song ánh hoàn hảo.

Bài 7: Cho $1978$ tập hơp, mỗi tập có $40$ phần tử, hai tập bất kì đều có đúng một phần tử chun. Chứng minh rằng: Cả $1978$ tập đều có một phần tử chung.

Bài 8: Cho họ các đường tròn trong mặt phẳng có phần trong rời nhau (nghĩa là không có điểm trong chung) từng cặp. Mỗi đường tròn tiếp xúc với ít nhất $6$ đường tròn khác của họ. Chứng minh rằng: Họ là vô hạn. 

Bài 9: Trong mặt phẳng cho $n$ điểm. Chứng minh rằng tồn tại $1$ tam giác tạo bởi ba điểm trong $n$ điểm đó có đường tròn ngoại tiếp không chứa các điểm còn lại.

Bài 10: Đối với một đồ thị hữu hạn ta có thể xóa $1$ cạnh tùy ý trong $1$ vòng $4$ cạnh tùy ý. Với đồ thị đầy đủ $n$ đỉnh thì việc xóa cạnh có thể kết thúc sau ít nhất bao nhiêu lần? 

Bài 11: Tại một trường đại học có $10001$ sinh viên, các sinh viên tham gia các câu lạc bộ, $1$ sinh viên có thể tham gia nhiều câu lạc bộ, các câu lạc bộ nghiên cứu các môn Khoa học, $1$ câu lạc bộ có thể nghiên cứu nhiều môn khoa học. Có $k$ môn khoa học. Biết rằng:

i) Mỗi cặp sinh viên tham gia cùng nhau đúng $1$ câu lạc bộ.

ii) Không có sinh viên nào tham gia $2$ câu lạc bộ nghiên cứu cùng $1$ môn khoa học.

iii) Mỗi câu lạc bộ có số lẻ sinh viên tham gia.

iv) Câu lạc bộ có $2m+1$ sinh viên thì nghiên cứu đúng $m$ môn khoa học.

Tính $k$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 13-09-2018 - 21:34

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#2 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 14-09-2018 - 06:56

Bài 12: Cho $m,n,p,q$ là các số nguyên dương và đặt $X=\left\{1;2;...;p\right\}$. Gọi $M,N$ là các tập hợp con của $X$ thỏa mãn: $|M|=m;|N|=n$ và với mọi $i;j$ thỏa mãn: $0\le i;j\le q-1$ thì $|(M+i)\cap (N+j)|=p$. Chứng minh rằng: $mn=pq$. 

(Với kí hiệu $A+i=\left\{x+i(\text{ mod q})|x\in A\right\}$).

Bài 13: Cho số nguyên dương $n$ lớn hơn $1$. Trong không gian vuông góc $Oxyz$, gọi $T$ là tập hợp tất cả các điểm $P(x,y,z)$ với $x,y,z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $1\le x,y,z\le n$. Tô màu tất cả các điểm thuộc $T$ sao cho: nếu điểm $A(x_0,y_0,z_0)$ được tô màu thì những điểm có dạng $B(x_1,y_1,z_1)$ với $x_1\le x_0,y_1\le y_0,z_1\le z_0$ sẽ không được tô màu.

Tìm giá trị lớn nhất các điểm được tô màu thỏa mãn điều kiện trên.

Bài 14: Cho $m;n;p$ là các số nguyên dương và $n+1$ là bội của $m$. Tính số bộ $(a_1;a_2;...;a_p)$ thỏa mãn $1\le a_i\le n(a_i\in \mathbb{N^*}),\forall i=\overline{1,p}$ và $a_1+a_2+...+a_p\vdots m$.

Bài 15: Cho một ngũ giác nguyên. Chứng minh rằng trong hoặc trên ngũ biên của ngũ giác nhỏ tạo bởi các đường chéo của ngũ giác lớn tồn tại một điểm nguyên. 

Bài 16: Với mọi $n\in \mathbb{N},n\notin \left\{0;1\right\}$. Chứng minh rằng: Với tất cả các tập gồm $2n-1$ số nguyên dương, có thể chọn ra $n$ số có tổng chia hết cho $n$.

Bài 17: Một câu lạc bộ có $2n$ thành viên bao gồm cả nam lẫn nữ, cứ $n+k(k>1)$ thành viên bất kì thì có $1$ cặp nam nữ quen nhau. Chứng minh rằng có thể lấy $n-k+1$ cặp nam nữ rời nhau từ câu lạc bộ này.

(Còn cập nhật)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 14-09-2018 - 07:58

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#3 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 16-09-2018 - 06:33

Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất của $a$ sao cho bất kì sự sắp xếp nào của các số $1,2,...,10$ trên đường tròn, chúng ta đều có thể tìm ra ba số có vị trí liên tiếp nhau thỏa mãn tổng của chúng lớn hơn hoặc bằng $a$.

Bài 19: Xét $2000$ đường tròn bán kính bằng $1$ trên mặt phẳng sao cho không có hai đường tròn nào tiếp xúc nhau và mỗi đường tròn cắt ít nhất với $2$ đường tròn khác. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất số giao điểm của các đường tròn này.

Bài 20: Tìm chu vi nhỏ nhất của đa giác $32$ cạnh có các đỉnh nguyên.

Bài 21: Trong một buổi dạ tiệc có $2n$ người gồm $n$ nam và $n$ nữ. Họ ngồi trên một cái bàn tròn. Hãy tìm tất cả giá trị của $n$ sao cho với mọi cách ngồi thì ta luôn có thể chia họ thành $n$ cặp nam nữ mà hai người cùng cặp không ngồi cạnh nhau.

Bài 22: Các số tự nhiên được viết lên các đỉnh của đa giác đều $n$ cạnh, Một bước, bạn tìm $4$ đỉnh liên tiếp chứa các số $a,b,c,d$ theo thứ tự, thỏa mãn: $(a-d)(b-c)<0$, sau đó đổi chỗ $b$ và $c$. Chứng minh rằng ta chỉ có thể thực hiện hữu hạn bước. 


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#4 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 17-09-2018 - 05:59

Bài 23: Kí hiệu $S$ là tập hợp các cặp số tự nhiên $(a;b)$ sao cho $a^ab^b$ có $98$ chữ số $0$ trong hệ thập phân. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên $(a,b)$ thuộc $S$ sao cho tích $ab$ nhỏ nhất.

Bài 24: Cho $n$ là số tự nhiên. Trên mỗi ô vuông của mạng lưới nguyên có ghi một số tự nhiên. Một đa giác gọi là "chấp nhận được" nếu nó có diện tích là $n$ và các cạnh của nó nằm trên các đường thẳng của mạng lưới nguyên. Tổng các số của các ô vuông chứa trong đa giác "chấp nhận được" được gọi là giá trị của đa giác đó.

Chứng minh rằng nếu các giá trị của mọi cặp đa giác "chấp nhận được" đồng dạng với nhau mà bằng nhau thì tất cả các số được viết trong các ô vuông đơn vị đều bằng nhau.

Bài 25: Chứng minh rằng tồn tại một tập $A$ vô hạn gồm các số nguyên dương sao cho với mọi tập hữu hạn $B$ là con của $A$ thì tổng tất cả các phần tử của $B$ không có dạng lũy thừa bậc lớn hơn $1$ của $1$ số tự nhiên.

Bài 26: Gọi $S$ là tập hợp nào đó gồm $n$ điểm trong mặt phẳng. Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm thuộc $S$ là $d$. Chứng tỏ rằng luôn tồn tại một tập con không ít hơn $\frac{n}{7}$ phần tử sao cho mỗi cặp điểm của tập con đó có khoảng cách không nhỏ hơn $d\sqrt{3}$.

Bài 27: Trong một kì thi toán, trong $6$ bài toán được đưa ra cho các thí sinh, cứ mỗi hai trong số những bài toán này đều có nhiều hơn $\frac{2}{5}$ tổng số thí sinh giải được. Ngoài ra, không có thí sinh nào giải được cả $6$ bài toán. Chứng minh rằng có ít nhất $2$ thí sinh giải được đúng $5$ bài toán.

Bài 28: Hãy tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho tồn tại $n$ người mà mỗi người quen không quá $3$ người khác và cứ $2$ người không quen nhau thì cùng quen với một người nào đó.

Bài 29: Cho một bảng $8x8$. Người ta xếp $n$ quân Domino vào bảng sao cho không có $2$ quân nào đè lên nhau và không thể xếp thêm được bất cứ quân nào nữa. Hỏi rằng số $n$ nhỏ nhất là bao nhiêu để điều này xảy ra.

 

 

 


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#5 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 17-09-2018 - 06:24

Bài 30: Chứng minh rằng không thể có nhiều hơn $4096$ dãy nhị phân độ dài $24$ sao cho hai dãy bất kì trong đó có ít nhất tám vị trí khác nhau.

Bài 31: Các hình vuông của bảng $mxn$ được đánh số từ $1$ đến $mxn$ sao cho các hình vuông được đánh số $i$ và $i+1$ luôn luôn có một cạnh chung. Chứng minh rằng tồn tại số $k$ sao cho các hình vuông được đánh số $k$ và $k+3$ có một cạnh chung.

Bài 32: Xét tập hợp $A$ thỏa mãn $A\subset \left\{1;2;...;N\right\}$; $|A|\le 2[\sqrt{n}]+1$.

Chứng minh rằng tồn tại tập hợp $A$ thỏa mãn với mọi $i\in [1,n-1]$ mà ta có thể viết $A_p-A_q=i$. Trong đó $A_p;A_q$ là tập hợp con của tập hợp $A$.

Bài 33: Giả sử có $n$ đấu thủ tham gia một giải bóng bàn với lịch thi đấu cho trước. Thắng: $1$ điểm, thua: $0$ điểm. Chứng minh rằng: $d_1,d_2,...,d_n$ là số điểm của các đấu thủ khi và chỉ khi $d_1+d_2+...+d_n=\frac{n(n-1)}{2}$ và với mọi $X\subset\left\{1,2,...,n\right\}$ thì số trận đấu giữa các đấu thủ trong tập này không vượt quá $\sum\limits_{i\in X}d_i$.

Bài 34: Cho tập $A=\left\{1,2,...,50\right\}$. Tìm số $k$ nhỏ nhất sao cho trong $1$ tập con $k$ phần tử của $A$ luôn tồn tại $a,b$ thỏa mãn: $a^2+b^2$ là số chính phương.

Bài 35: Trong một cuộc thi hoa hậu. Mỗi giám khảo được chọn ra $10$ ứng cử viên. Một nhóm được gọi là ứng ý với $1$ giám khảo nếu có người ông ta đề cử. Biết cứ $6$ người hoa hậu bất kì luôn chọn được $2$ giám khảo ưng ý. Chứng minh rằng: Có thể chọn được nhóm $10$ hoa hậu ưng ý với tất cả. 

Bài 36: Cho $30$ hòn bi, trong đó có $15$ hòn màu xanh, $15$ hòn màu đỏ. Xếp các hòn bi thành $1$ hàng theo $1$ thứ tự tùy ý. Chứng minh rằng: Luôn tìm được $10$ hòn sao cho trong đó có $5$ đỏ, $5$ xanh. 

Bài 37: Cho một đồ thị có $2n$ đỉnh sao cho $3$ đỉnh bất kì nào cũng có ít nhất $2$ đỉnh không kề nhau. Tìm số cạnh lớn nhất của đồ thị.

Bài 38: Chứng minh rằng $1$ quân mã không thể đi qua mỗi ô đúng một lần trong bảng $4xn$.


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#6 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 18-09-2018 - 12:19

Bài 39: Mỗi ô vuông của bảng $mXn$ đã được tô bởi một trong hai màu đen, trắng. Mỗi ô vuông đen kề với một số lẻ các ô vuông đen. Chứng minh số ô vuông đen là số chẵn, (Hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng khác nhau và có một cạnh chung)  và có thể có nhiều nhất là bao nhiêu ô đen?

Bài 40: Tìm số cạnh lớn nhất của một đồ thị $n$ đỉnh mà trong đó không có chu trình $k$ cạnh nào?

Bài 41: Trong hộp có $2004$ bi đỏ. Giả sử rằng chúng ta có vô hạn các viên bi trắng, xanh và vàng và thao tác: Mỗi lần ta thực hiện $1$ trong các phương án sau:

Thay:

+ $2$ bi đỏ bởi $1$ bi vàng.

+ $2$ bi trắng bởi $2$ bi xanh.

+ $2$ bi xanh bởi $1$ bi đỏ và $1$ bi vàng.

+ $1$ bi đỏ bởi $2$ bi trắng.

+ $1$ bi xanh và $1$ bi đỏ bởi $1$ bi trắng.

Sau hữu hạn lần thực hiên, trong hộp còn $1$ viên bi. Hỏi nó là viên bi màu gì?

Bài 42: Xếp $7$ ngôi sao vào bảng ô vuông $4x4$.

a)  Chứng minh rằng tồn tại hàng và cột có số ô chứa ngôi sao bằng nhau.

b)  Chứng minh rằng điều này không đúng với số ngôi sao bé hơn $7$.

Bài 43: Trên bảng cho một số số thực, mỗi một lần ta lấy $2$ số thực trên bảng là $u$ và $v$ nào đó, xóa $2$ số này đi và thêm vào bảng số $uv-u-v$. Chứng minh rằng: Với mọi cách xóa thì số cuối cùng còn lại trên bảng đều như nhau.

Bài 44: Có $n^2$ quả bóng và $n$ cái giỏ. Tô $n^2$ quả bóng bằng $n$ màu khác nhau ( có đủ $n$ màu; mỗi màu không nhất thiết phải tô cho $n$ quả). Chứng minh rằng ta có thể chia $n^2$ quả bóng vào $n$ giỏ và trong mỗi giỏ thì số màu quả bóng không quá $2$.


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#7 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 24-09-2018 - 08:00

Bài 45: Cho $8$ học sinh giải $8$ bài toán, biết rằng: luôn tồn tại $5$ học sinh giải được cùng $1$ bài toán. Chứng minh rằng: Có thể chọn ra $2$ học sinh giải được số bài toán như nhau.

Bài 46: Chứng minh rằng trong $7$ số nguyên bất kì luôn tồn tại $2$ số có tổng hoặc hiệu chia hết cho $10$.

Bài 47: Chứng minh rằng luôn tồn tại $p$ là số nguyên tố và dãy các số $a_1,a_2,a_3,...$ sao cho dãy $p+2003a_1,p+2003a_2,...$ là dãy các số nguyên tố.

Bài 48: Trong một tháng $30$ ngày, bạn $A$ đã gặp bạn $B$ ít nhất mỗi ngày một lần, nhưng cả tháng gặp không quá $45$ lần. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một số ngày liên tiếp mà bạn $A$ đã gặp bạn $B$ đúng $14$ lần.

Bài 49: Cho $1$ đa giác đều $2n$ đỉnh. Xác định số tam giác cân có các đỉnh là đỉnh của đa giác.

Bài 50: Cho $1$ đa giác $n$ đỉnh. Xác định số tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác và các cạnh là đường chéo của đa giác.


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#8 dungxibo123

dungxibo123

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 330 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Toán Nguyễn Thượng Hiền
  • Sở thích:...

Đã gửi 24-09-2018 - 08:13

Bài 38: đánh số các ô các hàng lần lượt là: hàng $1$ ta đánh $1,2,1,2,...$ hàng $2 : 3,4,3,4...$ hàng $3$ $2,1,2,1,...$ hàng $4$ $4,3,4,3,..$
(sưu tầm)


myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 


#9 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 25-09-2018 - 06:09

Bài 51: Trên đường thẳng có $2003$ điểm tô một trong $4$ màu: Xanh, Đỏ, Tím, Vàng. Chứng minh rằng tồn tại $1$ đoạn thẳng có cả $4$ màu trên, trong đó, có hai màu xuất hiện ít nhất hai lần, còn hai màu còn lại xuất hiện đúng $1$ lần.

Bài 52: Cho bảng ô vuông $2005.2005$. Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất sao cho với mọi cách điền số vào bảng mà thỏa mãn các điều sau:

i) Mỗi ô vuông con được điền $1$ số nguyên không âm.

ii) Tổng các số trên mỗi hàng và mỗi cột đều $\ge 1$.

iii) Tổng tất cả các số trên bảng bằng $k$.

thì ta chọn được một số (không quá 2005) hàng và cột mà tổng các số viết trong các hàng được chọn bằng tổng các số viết trong các cột được chọn.

Bài 53: Mỗi ô của bảng $n.n$ được tô xanh hoặc đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu thỏa mãn mỗi hình vuông $2x2$ có $2$ ô xanh và $2$ ô đỏ?

Bài 54: Cho $2005$ thành phố nối với nhau bằng những đường xe buýt. Mỗi thành phố nối trực tiếp với ít nhất $1800$ thành phố khác. Hỏi số lớn nhất các thành phố mà cứ $2$ trong chúng được nối trực tiếp với nhau bằng những con đường xe buýt.

Bài 55: Có $1$ đội leo núi gồm $n$ người tổ chức $4$ cuộc leo núi cho các thành viên của mình. Giả sử có $4$ đội là $A,B,C,D$. Hỏi có bao nhiêu cách chia đội sao cho $A\cap B=\emptyset;B\cap C=\emptyset; C\cap D\ne \emptyset$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 25-09-2018 - 06:13

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#10 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 19-02-2019 - 10:11

Bài 56: Tìm $m$ nhỏ nhất nguyên dương thỏa mãn, với mọi tập con $m$ phần tử tập $S=\left\{1,2,...,2001\right\}$ luôn tồn tại $u,v$ thỏa mãn $u+v=2^n$ với $n$ là số nguyên dương.

Bài 57: Cho $n,p\in \mathbb{Z}^{+},n\ge 6,p\ge 3$. Xét đa giác đều $n$ đỉnh mà mỗi đỉnh được tô $1$ trong $2$ màu đen hoặc đỏ, trong đó có $p$ đỉnh đỏ và $n-p$ đỉnh đen. Chứng minh rằng: Có $2$ đa giác đồng dạng $[\frac{p}{2}]+1$ đỉnh mà đa giác toàn đỏ và $1$ đa giác toàn đen.

Bài 58: Cho $2$ tập $A=\left\{a_1;a_2;...;a_{100}\right\}$ và $B=\left\{b_1;b_2;...;b_{100}\right\}$. Nếu có $1$ ánh xạ $f$ từ $A$ vào $B$ thỏa mãn mọi phần tử của $B$ đều có nghịch ảnh và $f(a_1)\le f(a_2)\le ... \le f(a_{100})$ thì số phép ánh xạ là bao nhiêu?

Bài 59: Giả sử $X$ là một tập hợp và $A,B\in \mathscr{B}(X)$. Hãy giải $\mathscr{B}(X)$ những phương trình sau:

1. $Y\cup A=B$

2. $Y\cap A=B$.

Bài 60:  Cho $m,n$ nguyên dương. Tính $T=\sum\limits_{k=0}^{m}\frac{C_{n+k}^{k}}{2^{m+k}}+\sum\limits_{k=0}^{m}\frac{C_{m+k}^{k}}{2^{n+k}}$.

Bài 61: Tìm hàm sinh của dãy $\frac{a^{n}}{n}$ hay chứng minh $G(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{a^{n}}{n}x_{n}=ln(\frac{1}{1-ax})$.

Bài 62: Cho tập $A$ có $8$ phần tử. Tìm số lớn nhất các tập con có $3$ phần tử của $A$ sao cho hai tập con bất kì không giao nhau tạo thành một tập hợp có hai phần tử.

Bài 63:  Tính tổng: $\sum\limits_{k=0}^{2n} (-2)^{k} C_{2n+k}^{2n-k}$.

Bài 64: Trong mặt phẳng cho $10$ điểm trong đó khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ có độ dài là một số nguyên dương, chứng minh rằng tồn tại $7$ đoạn thẳng có $2$  đầu mút là các điểm trong $10$ điểm đó là một số nguyên dương chia hết cho $3$.

Bài 65: Cho $S=\left\{1,2,3,...,280\right\}$. Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất sao cho mọi tập hợp con gồm $n$ phần tử của $S$ đều chứa $5$ số đôi một nguyên tố cùng nhau.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 19-02-2019 - 10:13

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#11 NguyenHoaiTrung

NguyenHoaiTrung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-02-2019 - 20:01

Bài 7: Giả sử 1978 tập hợp đó là $A_1;A_2;...;A_m$

Vì có 1978 tập hợp, mỗi tập có 40 phần tử và 2 tập bất kì chung nhau đúng 1 phần tử nên tồn tại 1 phần tử $x$ thuộc tập $A_1$ là giao của $A_1$ với ít nhất $[\frac{1977}{40}] +1 = 50$ tập hợp

Giả sử 50 tập hợp đó là $A_i$ với $i \in {2;3;...51}$ , gọi $A_n$ là 1 tập hợp sao cho $n \not \in  {2;3;...51}$

Xét $ A_2 \cap A_n ={y}$ khi đó $A_k \cap A_n \not = {y}  \forall k \in {3;4;...50}$ ( do các tâp hợp chỉ có chung đúng 1 phần tử) $=> |A_n| \geq 49 =>$ vô lý 

Như vậy $x$ là phần tử chung của tất cả 1978 tập hợp. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 22-02-2019 - 20:03






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh