BÀI GIẢI ĐỀ 3
Câu 1:
a)$A=\sqrt{\frac{3\sqrt{3}-4}{2\sqrt{3}+1}}-\sqrt{\frac{\sqrt{3}+4}{5-2\sqrt{3}}}$.
$=\sqrt{\frac{(3\sqrt{3}-4)(2\sqrt{3}-1)}{(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)}}-\sqrt{\frac{(\sqrt{3}+4)(5+2\sqrt{3})}{(5-2\sqrt{3})(5+2\sqrt{3})}}$.
$=\sqrt{\frac{22-11\sqrt{3}}{11}}-\sqrt{\frac{26+13\sqrt{3}}{13}}=\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
$=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}-\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$.
Vậy $A=-\sqrt{2}$.
b)
i)$B=(\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-1})(x+\sqrt{x})$ với $x>0,x\ne 1$.
$=\frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)-(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)^2(\sqrt{x}-1)}.(x+\sqrt{x})$.
$=\frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)^2(\sqrt{x}-1)}.\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)=\frac{2x}{x-1}$.
Vậy $B=\frac{2x}{x-1}$
ii) Với $x>0,x\ne 1$ ta có: $B=\frac{2x}{x-1}=2+\frac{2}{x-1}$.
B là số nguyên khi $\frac{2}{x-1}$ là số nguyên.
$\iff x-1$ là ước của $2$.
$\implies x\in\left\{3;2\right\}.$
Vậy $x\in\left\{3;2\right\}$ thi $B$ có giá trị nguyên.
Câu 2: Với $m=3$ ta có:
$\left\{\begin{array}{I} 3x+2y=1\\ 3x+4y=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{I} 3x+2y=1\\ 2y=-2\end{array}\right.$
$\iff \left\{\begin{array}{I} x=1\\ y=-1\end{array}\right.$
Vậy với $m=3$ hệ phương trình có nghiệm $(1;-1)$.
b) $\left\{\begin{array}{I} mx+2y=1(1)\\ 3x+(m+1)y=-1(2)\end{array}\right.$
Từ $(1)\implies y=\frac{1-mx}{2}$, thế vào $(2)$, rút gọn ta được:
$(m+3)(m-2)x=m+3(*)$.
+ Nếu $(m+3)(m-2)\ne 0\iff \left\{\begin{array}{I} m\ne -3\\ m\ne 2\end{array}\right.$
Thì phương trình $(*)$ có nghiệm duy nhất: $x=\frac{1}{m-2}\implies y=-\frac{1}{m-2}$.
Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất: $(x=\frac{1}{m-2};\frac{-1}{m-2})$.
+ Nếu $m+3=0\iff m=-3$. Phương trình $(*)$ tương đương: $0x=0$ có vô số nghiệm.
Suy ra hệ phương trình có vô số nghiệm thỏa: $\left\{\begin{array}{I} x\in \mathbb{R}\\ y=\frac{1+3x}{2}\end{array}\right.$
+ Nếu $m-2=0\iff m=2$. Phương trình $(*)$ tương đương: $0x=5$ vô nghiệm. Suy ra hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy:
+ $m\ne -3$ và $m\ne 2$: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: $(x;y)=(\frac{1}{m-2};\frac{-1}{m-2})$.
+ $m=-3$ hệ phương trình có vô số nghiệm $\left\{\begin{array}{I} x\in \mathbb{R}\\ y=\frac{1+3x}{2}\end{array}\right.$
+ $m=2$ Hệ phương trình vô nghiệm.
b) Với $m=-3$ Hệ phương trình có vô số nghiệm nguyên $(x;y)$ thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{I} x\in \mathbb{Z}, x\text{ lẻ }\\ y=\frac{1+3x}{2}\end{array}\right.$
+ Với $m\ne -3$ và $m\ne 2$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
$\left\{\begin{array}{I} x=\frac{1}{m-2}\\ y=\frac{-1}{m-2}\end{array}\right.$
$x,y$ là số nguyên khi $\frac{1}{m-2}$ là số nguyên.
$\iff m-2$ là ước của $1$.
$\iff m=3;m=1$.
Vậy:
+$m=-3$: Hệ phương trình có vô số nghiệm nguyên thỏa: $\left\{\begin{array}{I} x\in \mathbb{Z},x\text{ lẻ }\\\ y=\frac{1+3x}{2}\end{array}\right.$
+$m=3$: Hệ phương trình có nghiệm: $(1;-1)$.
+$m=1$: Hệ phương trình có nghiệm: $(-1;1)$
Câu 3:
a)
i) Với $m=4$ ta có phương trình: $x^2-4x+3=0\iff x=1;x=3$.
ii) $x^2-mx+m-1=0(1)$.
$\Delta=(-m)^2-4(m-1)=m^2-4m+4=(m-2)^2\ge 0$ với mọi giá trị của $m$. Do đó phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm $x_1,x_2$.
Theo định lí Vi-et, ta có: $\left\{\begin{array}{I} x_1+x_2=m\\ x_1x_2=m-1\end{array}\right.$
Theo giả thiết: $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{2014}\iff \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{x_1+x_2}{2014}$.
$\iff \frac{m}{m-1}=\frac{m}{2014}(m\ne 1)$.
$\iff m^2-2015m=0\iff m=0;m=2015$.
Thử lại thỏa mãn.
Vậy giá trị cần tìm là: $m=0$ hoặc $m=2015$.
b) Với $x\ne 0$, ta có: $C=\frac{x^2-2x+2014}{x^2}=1-\frac{2}{x}+\frac{2014}{x^2}$.
$=2014[\frac{1}{x^2}-\frac{2}{2014x}+\frac{1}{2014}]=2014[\frac{1}{x^2}-\frac{2}{2014x}+\frac{1}{2014}]$.
$=2014[(\frac{1}{x}-\frac{1}{2014})^2+\frac{2013}{2014^2}]=2014(\frac{1}{x}-\frac{1}{2014})^2+\frac{2013}{2014}\ge \frac{2013}{2014}$.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $\frac{1}{x}-\frac{1}{2014}=0\iff x=2014$.
Vậy $C_{min}=\frac{2013}{2014}\iff m=2014$.
Câu 4:
a) Ta có: $AB=AC$ ($\triangle{ABC}$ đều) và $OB=OC$ (bán kính).
Suy ra $AD$ là đường trung trực của đoạn $BC$.
$\implies DB=DC\implies \angle{BMD}=\angle{DMC}$ (tính chất góc nội tiếp).
Vậy $MD$ là phân giác góc $BMC$.
b) $BC$ là cạnh của tam giác nội tiếp $(O;R)\implies BC=R\sqrt{3}$.
Tứ giác $ABCD$ có $AD\bot BC$ ($AD$ là đường trung trực của $BC$) nên $S_{ABDC}=\frac{1}{2}AD.BC=\frac{1}{2}.2R.R\sqrt{3}=R^2\sqrt{3}$.
c) Ta có: $sd(AMB)=\angle{AOB}=2\angle{ACB}=120^0$.
Diện tích hình quạt tạo bởi cung $AMB:S_{\text{ quạt }}=\frac{\pi R^2.120^0}{360^0}=\frac{\pi R^2}{3}$.
Kẻ $OI\bot AB$ tại $I$, ta có: $\triangle{AOB}$ cân tại $O(OA=OB)$ và có $OI$ là đường cao.
$\implies OI$ cũng là phân giác của góc $AOB$.
$\implies \triangle{OAI}$ vuông tại $I$ có $\angle{AOI}=\frac{1}{2}\angle{AOB}=60^0$.
$\implies OI=OA.cos60^0=\frac{R}{2}$.
$\implies S_{AOB}=\frac{1}{2}AB.OI=\frac{1}{2}R\sqrt{3}.\frac{R}{2}=\frac{R^2\sqrt{3}}{4}$.
Diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung $AMB$ và dây $AB$.
$S_{\text{ quạt }}-S_{AOB}=R^2(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4})$.
d) Ta có: $\angle{BAD}=\angle{DMC}\implies \angle{KAH}=\angle{KMH}$.
$\implies $ Tứ giác $AMKH$ nội tiếp suy ra $\angle{AMK}+\angle{AHK}=180^0$.
Mà $\angle{AMK}=90^0\implies \angle{AHK}=90^0$.
Mặt khác: $\angle{ABD}=90^0$. Suy ra: $\triangle{AKD}$ có $AM,KH,DB$ là ba đường cao.
Do đó ba đường thẳng $AM,KH,DB$ đồng quy.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 22-10-2018 - 11:40