Chủ đề này có 4 trả lời

[thanhdatqv2003]

Chứng minh rằng với mọi a,b,c không âm ta có bất đẳng thức :

    

                    $\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}+\frac{(c+a-b)^2}{(c+a)^2+b^2}+\frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}\geqslant \frac{3}{5}$

                                                                                                                            (Japan MO 2002)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 01-10-2018 - 19:12

[dungxibo123]

Chứng minh rằng với mọi a,b,c không âm ta có bất đẳng thức :

    

                    $\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}+\frac{(c+a-b)^2}{(c+a)^2+b^2}+\frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}\geqslant \frac{3}{5}$

                                                      ---------      ---------

Chuẩn hóa $a+b+c=3$ rồi thử dùng phương pháp tiếp tuyến thử đi ạ

[DOTOANNANG]

$$25\,\frac{\left ( b+ c- a \right )^{2}}{\left ( b+ c \right )^{2}+ a^{2}}+ 54\,\frac{a}{a+ b+ c}\geqq 23$$

[DOTOANNANG]

$$25\,\frac{\left ( b+ c- a \right )^{2}}{\left ( b+ c \right )^{2}+ a^{2}}+ 54\,\frac{a}{a+ b+ c}\geqq 23$$

$$\frac{\left ( b+ c- a \right )^{2}}{a^{2}+ \left ( b+ c \right )^{2}}\geqq \frac{7\,a^{2}+ 4\,b^{2}+ 4\,c^{2}+ 40\,bc- 20\,ca- 20\,ab}{25\,\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )}$$

Đẳng thức xảy ra khi $\left \{\,a= b= c\, \right \}= \left \{ b= c \right \}\cup \left \{\, 2\,a= b+ c\, \right \}$

Spoiler

$25\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )\left ( b+ c- a \right )^{2}-\left [ a^{2}+ \left ( b+ c \right )^{2} \right ]\left ( 7\,a^{2}+ 4\,b^{2}+ 4\,c^{2}+ 40\,bc- 20\,ca- 20\,ab \right )$ $= \frac{1}{2}\left [ \left ( b+ c- 2\,a \right )^{2}\left ( b+ c- 3\,a \right )^{2}+ \left ( b- c \right )^{2}\left ( 41\,a^{2}- 50\,a\left ( b+ c \right )+ 41\,\left ( b+ c \right )^{2} \right ) \right ]\geqq 0$

[Hero Crab]

Vì đây là bất đẳng thức thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa a+b+c=1

Thay vào biểu thức ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\sum_{cyc}\frac{\left (1-2a  \right )^{2}}{\left ( 1-a \right )^{2}+a^{2}}\geqslant \frac{3}{5}$

Ta có $\frac{\left (1-2a  \right )^{2}}{\left ( 1-a \right )^{2}+a^{2}}\geqslant \frac{23}{25}-\frac{54a}{25} $

$\Leftrightarrow \frac{\left ( 3a-1 \right )^{2}\left ( 6a+1 \right )}{25\left ( 1-2a+2a^{2} \right )}\geqslant 0(Đúng,  a\geqslant 0)$

Chứng minh tương tự ta cũng có $\frac{\left (1-2b  \right )^{2}}{\left ( 1-b \right )^{2}+b^{2}}\geqslant \frac{23}{25}-\frac{54b}{25}  $;$\frac{\left (1-2c  \right )^{2}}{\left ( 1-c \right )^{2}+c^{2}}\geqslant \frac{23}{25}-\frac{54c}{25}  $

Cộng theo vế lại ta được: $\sum_{cyc}\frac{\left (1-2a  \right )^{2}}{\left ( 1-a \right )^{2}+a^{2}}\geqslant \frac{69}{25}-\frac{54\left(a+b+c\right)}{25}=\frac{69}{25}-\frac{54}{25}=\frac{3}{5}(Đpcm)$

Dấu "=" khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Crab: 28-10-2018 - 11:45