Chủ đề này có 1 trả lời

[BurakkuYokuro11]

Tính $\sum_{0\leq k\leq 2019;k\equiv m(mod 4)} C_{2019}^{k}$ Với m nhận các giá trị 0,1,2,3

[Hr MiSu]

$\sqrt{-1}=i$

$(1+i)^{2019}=\sum_{k=0}^{n}C_{2019}^k.i^k, (1-i)^{2019}=\sum_{k=0}^{2019}C_{2019}^k(-1)^k.i^k$

ta có: $i^{4k}=1,i^{4k+1}=i,i^{4k+2}=-1,i^{4k+3}=-i$, do vậy, công, trừ theo vế 2 đẳng thức trên ta có:

$(1+i)^n+(1-i)^n=\sum_{k=0}^{2019}C_{2019}^k, k\equiv 0 mod 2$

$(1+i)^n-(1-i)^n=\sum_{k=1}^{2019}C_{2019}^k, k\equiv 1 mod 2$

dễ có: $\sum_{k=0}^{2019}C_{2019}^k=\sum_{h=1}^{2019}C_{2019}^h=2^{2018}, k\equiv 0 mod 2, h\equiv 1 mod 2$

mặt khác $1+i=\sqrt{2}(sin\frac{\pi}{2} +icos\frac{\pi}{2} )$, theo ct moivre: $(1+i)^n=(\sqrt{2})^n(sin(n.\frac{\pi}{2})+icos(n.\frac{\pi}{2}))$

tương tự. từ đó tính ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 17-09-2018 - 04:58