Chủ đề này có 5 trả lời

[toanhoc2017]

BÀI TẬP : Tìm tất cả các ước nguyên tố n của $A=2^{2017}-1$ biết $n<9000$

[Kim Vu]

BÀI TẬP : Tìm tất cả các ước nguyên tố n của $A=2^{2017}-1$ biết $n<9000$

$n$ là ước nguyên tố bất kì của $A$ nhỏ hơn 9000
Gọi h là cấp của 2 modulo n;ta có ord_n(2)$=h \rightarrow 2^h-1 \vdots n$
$2^{2017}-1 \vdots n;2^{n-1}-1 \vdots n \rightarrow h$ là $UC(2017;n-1)$
$\rightarrow h \in \left \{ 1;2017 \right \}$
TH1:$h=1$ thì $2-1 \vdots n$(vô lí)
TH2:$h=2017 \rightarrow n-1 \vdots 2017 \rightarrow$ mọi UNT của $A$ đều chia 2017 dư 1 
Các số tự nhiên nhỏ hơn 9000 và chia 2017 dư 1 là 1;2018;4035;5052;8069
Chỉ có 8069 là số nguyên tố
Tuy nhiên nếu nếu $A\vdots 8069$ thì $2^{2017}\equiv 1(mod 8069)$
$ \Rightarrow 2^{2018} \equiv 2(mod 8069) \Rightarrow 2$ là số chính phương $modulo$ $8069$
 $\Rightarrow (\frac{2}{8069})=1$ 
Mặt khác $(\frac{2}{8069})=(-1)^{\frac{8069^2-1}{8}}=-1$(Mâu thuẫn)
Suy ra 8069 không là ước nguyên tố của $A$

Vậy $A$ không có UNT nhỏ hơn 9000
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kim Vu: 21-09-2018 - 20:42

[toanhoc2017]

$n$ là ước nguyên tố bất kì của $A$ nhỏ hơn 9000
Đặt ord_n(2)$=h \rightarrow 2^h-1 \vdots n$
$2^{2017}-1 \vdots n;2^{n-1}-1 \vdots n \rightarrow h$ là $UC(2017;n-1)$
$\rightarrow h \in \left \{ 1;2017 \right \}$
TH1:$h=1$ thì $2-1 \vdots n$(vô lí)
TH2:$h=2017 \rightarrow n-1 \vdots 2017 \rightarrow$ mọi UNT của $A$ đều chia 2017 dư 1 
Các số tự nhiên nhỏ hơn 9000 và chia 2017 dư 1 là 1;2018;4035;5052;8069
Chỉ có 8069 là số nguyên tố
Tuy nhiên nếu chỉ có 8069 là UNT của $A$ thì $A=8069^{k}$ nên $A$ phải chia 4 dư 1,vô lí
Vậy $A$ không có UNT nhỏ hơn 9000
 

Đặt ord_n(2) là gì vậy anh ? anh giải rõ rõ tý ạ 

[toanhoc2017]

Đặt ord_n(2) là gì vậy anh ? anh giải rõ rõ tý ạ 

E nghĩ 2 tuần nay mà không ra đó ,anh giải kĩ tý anh 

[toannguyenebolala]

E nghĩ 2 tuần nay mà không ra đó ,anh giải kĩ tý anh 

bạn có thể xem thêm về cấp của một số và căn nguyên thủy để hiểu hơn

[Tea Coffee]

Đặt ord_n(2) là gì vậy anh ? anh giải rõ rõ tý ạ 

$ord_{n}(2)$ là cấp số nguyên $2$ modulo $n$.

Số nguyên dương $t$ được gọi là $ord_{n}(2)$ khi $t$ là số nhỏ nhất thỏa mãn $2^{t}\equiv 1(mod n)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 21-09-2018 - 20:05