BÀI TẬP : Tìm tất cả các ước nguyên tố n của $A=2^{2017}-1$ biết $n<9000$
Bài tập thi HSG12 QUẢNG NGÃI
#1
Đã gửi 17-09-2018 - 15:50
#2
Đã gửi 17-09-2018 - 17:05
BÀI TẬP : Tìm tất cả các ước nguyên tố n của $A=2^{2017}-1$ biết $n<9000$
$n$ là ước nguyên tố bất kì của $A$ nhỏ hơn 9000
Gọi h là cấp của 2 modulo n;ta có ordn(2)$=h \rightarrow 2^h-1 \vdots n$
$2^{2017}-1 \vdots n;2^{n-1}-1 \vdots n \rightarrow h$ là $UC(2017;n-1)$
$\rightarrow h \in \left \{ 1;2017 \right \}$
TH1:$h=1$ thì $2-1 \vdots n$(vô lí)
TH2:$h=2017 \rightarrow n-1 \vdots 2017 \rightarrow$ mọi UNT của $A$ đều chia 2017 dư 1
Các số tự nhiên nhỏ hơn 9000 và chia 2017 dư 1 là 1;2018;4035;5052;8069
Chỉ có 8069 là số nguyên tố
Tuy nhiên nếu nếu $A\vdots 8069$ thì $2^{2017}\equiv 1(mod 8069)$
$ \Rightarrow 2^{2018} \equiv 2(mod 8069) \Rightarrow 2$ là số chính phương $modulo$ $8069$
$\Rightarrow (\frac{2}{8069})=1$
Mặt khác $(\frac{2}{8069})=(-1)^{\frac{8069^2-1}{8}}=-1$(Mâu thuẫn)
Suy ra 8069 không là ước nguyên tố của $A$
Vậy $A$ không có UNT nhỏ hơn 9000
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kim Vu: 21-09-2018 - 20:42
- toannguyenebolala, Tea Coffee, didifulls và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 17-09-2018 - 17:50
$n$ là ước nguyên tố bất kì của $A$ nhỏ hơn 9000
Đặt ordn(2)$=h \rightarrow 2^h-1 \vdots n$
$2^{2017}-1 \vdots n;2^{n-1}-1 \vdots n \rightarrow h$ là $UC(2017;n-1)$
$\rightarrow h \in \left \{ 1;2017 \right \}$
TH1:$h=1$ thì $2-1 \vdots n$(vô lí)
TH2:$h=2017 \rightarrow n-1 \vdots 2017 \rightarrow$ mọi UNT của $A$ đều chia 2017 dư 1
Các số tự nhiên nhỏ hơn 9000 và chia 2017 dư 1 là 1;2018;4035;5052;8069
Chỉ có 8069 là số nguyên tố
Tuy nhiên nếu chỉ có 8069 là UNT của $A$ thì $A=8069^{k}$ nên $A$ phải chia 4 dư 1,vô lí
Vậy $A$ không có UNT nhỏ hơn 9000
Đặt ordn(2) là gì vậy anh ? anh giải rõ rõ tý ạ
#4
Đã gửi 17-09-2018 - 17:55
Đặt ordn(2) là gì vậy anh ? anh giải rõ rõ tý ạ
E nghĩ 2 tuần nay mà không ra đó ,anh giải kĩ tý anh
#5
Đã gửi 17-09-2018 - 19:47
E nghĩ 2 tuần nay mà không ra đó ,anh giải kĩ tý anh
bạn có thể xem thêm về cấp của một số và căn nguyên thủy để hiểu hơn
"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"
#6
Đã gửi 21-09-2018 - 20:05
Đặt ordn(2) là gì vậy anh ? anh giải rõ rõ tý ạ
$ord_{n}(2)$ là cấp số nguyên $2$ modulo $n$.
Số nguyên dương $t$ được gọi là $ord_{n}(2)$ khi $t$ là số nhỏ nhất thỏa mãn $2^{t}\equiv 1(mod n)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 21-09-2018 - 20:05
- ThinhThinh123 yêu thích
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh