Đến nội dung

Hình ảnh

Cho ba số thực không âm a,b,c thỏa mãn: $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 $. Tìm GTLN của biểu thức: $ P=a+b+c-4abc $

lớp 12

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
supernatural1

supernatural1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết

Cho ba số thực không âm a,b,c thỏa mãn: $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 $. Tìm GTLN của biểu thức: $ P=a+b+c-4abc $



#2
hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 240 Bài viết

Cho ba số thực không âm a,b,c thỏa mãn: $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 $. Tìm GTLN của biểu thức: $ P=a+b+c-4abc $

Dùng BĐT cauchy-schawrz và chia khoảng.

Hình gửi kèm

  • Capture.JPG

Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#3
Unrruly Kid

Unrruly Kid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết

Bạn nên tham gia vào nhóm The art of Mathematics trên facebook đi. Nhóm này toàn cao thủ và giải đề học sinh giỏi, chọn VMO rất nhiệt tình, đề chọn VMO Hà Nội này cũng đã giải hết rồi


Đôi khi ngươi phải đau đớn để nhận thức, vấp ngã để trưởng thành, mất mát để có được, bởi bài học lớn nhất của cuộc đời được dạy bằng nỗi đau.

#4
toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Banned
  • 628 Bài viết

Dùng BĐT cauchy-schawrz và chia khoảng.

Hay

#5
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Sử dụng phương pháp $\lceil$ uvw $\rfloor$ , ta được :  $\it{P}= \it{3}\,\it{u}- \it{4}\,\it{w}^{\,\it{3}}$ là hàm số bậc nhất với ẩn $\it{w}^{\,\it{3}}$ , khi đó đạt giá trị cực đại khi $\it{w}^{\,\it{3}}$ đạt cực đại ( vì điều kiện bài toán không phụ thuộc vào $\it{w}^{\,\it{3}}$ ) , tức là sẽ xảy ra $\it{2}$ trường hợp sau :

Trường hợp $\text{I}$ : $\it{2}$ trong $\it{3}$ số $\left \{ \it{a},\,\it{b},\,\it{c} \right \}$ bằng nhau , ở đây không mất tính tổng quát sẽ chứng minh : $\it{a}+ \it{2}\,\it{b}- \it{4}\,\it{a}^{\,\it{2}}b\leqq \sqrt{\it{2}}$ với $\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{b}^{\,\it{2}}= \it{1}$ và $\it{0}\leqq \it{a}\leqq \it{b}\leqq \frac{\it{1}}{\sqrt{2}}$ . Ta sẽ đưa bất đẳng thức về dạng :

$\left ( \sqrt{\it{2}}- \it{a} \right )^{\,\it{2}}\geqq \it{4}\,\it{b}^{\,\it{2}}\left ( \it{1}- \it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}} \right )^{\,\it{2}}= \it{2}\left ( \it{1}- \it{a}^{\,\it{2}} \right )\left ( \it{1}- \it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}} \right )^{\,\it{2}}\Leftrightarrow \it{a}\left ( \underbrace{\it{8}\,\it{a}^{\,\it{5}}- \it{16}\,\it{a}^{\,\it{3}}+ \it{11}\,\it{a}- \it{2}\,\sqrt{2}}_{= \it{f}\left ( \it{a} \right )\geqq \it{f}\left ( \frac{\it{1}}{\sqrt{\it{2}}} \right ) "\,=\,"\Leftrightarrow \it{a}= \it{f}\left ( \frac{\it{1}}{\sqrt{\it{2}}} \right )= \frac{\it{1}}{\sqrt{\it{2}}}} \right )\geqq \it{0}$

Trường hợp $\text{II}$ : $\it{w}^{\,\it{3}}= \it{0}\,\left ( \it{w}^{\,\it{3}}\,\min \right )$ , ở đây không mất tính tổng quát sẽ chứng minh : $\it{P}= \it{a}+ \it{b}\leqq \sqrt{\it{2}}$ với $\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}= \it{1}$ . Dễ kết thúc chứng minh (!) 

Spoiler






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lớp 12

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh