Cho ba số thực không âm a,b,c thỏa mãn: $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 $. Tìm GTLN của biểu thức: $ P=a+b+c-4abc $
Cho ba số thực không âm a,b,c thỏa mãn: $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 $. Tìm GTLN của biểu thức: $ P=a+b+c-4abc $
#1
Đã gửi 17-09-2018 - 21:01
#2
Đã gửi 20-09-2018 - 10:33
#3
Đã gửi 20-09-2018 - 11:24
Bạn nên tham gia vào nhóm The art of Mathematics trên facebook đi. Nhóm này toàn cao thủ và giải đề học sinh giỏi, chọn VMO rất nhiệt tình, đề chọn VMO Hà Nội này cũng đã giải hết rồi
#4
Đã gửi 11-01-2019 - 20:22
HayDùng BĐT cauchy-schawrz và chia khoảng.
#5
Đã gửi 13-01-2019 - 19:46
Sử dụng phương pháp $\lceil$ uvw $\rfloor$ , ta được : $\it{P}= \it{3}\,\it{u}- \it{4}\,\it{w}^{\,\it{3}}$ là hàm số bậc nhất với ẩn $\it{w}^{\,\it{3}}$ , khi đó đạt giá trị cực đại khi $\it{w}^{\,\it{3}}$ đạt cực đại ( vì điều kiện bài toán không phụ thuộc vào $\it{w}^{\,\it{3}}$ ) , tức là sẽ xảy ra $\it{2}$ trường hợp sau :
Trường hợp $\text{I}$ : $\it{2}$ trong $\it{3}$ số $\left \{ \it{a},\,\it{b},\,\it{c} \right \}$ bằng nhau , ở đây không mất tính tổng quát sẽ chứng minh : $\it{a}+ \it{2}\,\it{b}- \it{4}\,\it{a}^{\,\it{2}}b\leqq \sqrt{\it{2}}$ với $\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{b}^{\,\it{2}}= \it{1}$ và $\it{0}\leqq \it{a}\leqq \it{b}\leqq \frac{\it{1}}{\sqrt{2}}$ . Ta sẽ đưa bất đẳng thức về dạng :
$\left ( \sqrt{\it{2}}- \it{a} \right )^{\,\it{2}}\geqq \it{4}\,\it{b}^{\,\it{2}}\left ( \it{1}- \it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}} \right )^{\,\it{2}}= \it{2}\left ( \it{1}- \it{a}^{\,\it{2}} \right )\left ( \it{1}- \it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}} \right )^{\,\it{2}}\Leftrightarrow \it{a}\left ( \underbrace{\it{8}\,\it{a}^{\,\it{5}}- \it{16}\,\it{a}^{\,\it{3}}+ \it{11}\,\it{a}- \it{2}\,\sqrt{2}}_{= \it{f}\left ( \it{a} \right )\geqq \it{f}\left ( \frac{\it{1}}{\sqrt{\it{2}}} \right ) "\,=\,"\Leftrightarrow \it{a}= \it{f}\left ( \frac{\it{1}}{\sqrt{\it{2}}} \right )= \frac{\it{1}}{\sqrt{\it{2}}}} \right )\geqq \it{0}$
Trường hợp $\text{II}$ : $\it{w}^{\,\it{3}}= \it{0}\,\left ( \it{w}^{\,\it{3}}\,\min \right )$ , ở đây không mất tính tổng quát sẽ chứng minh : $\it{P}= \it{a}+ \it{b}\leqq \sqrt{\it{2}}$ với $\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}= \it{1}$ . Dễ kết thúc chứng minh (!)
- ILikeMath22042001 và thanhdatqv2003 thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lớp 12
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh