Cho $x^2+y^2+z^2=3xyz$
CMR $\frac{x^2}{y+2}+\frac{y^2}{z+2}+\frac{z^2}{x+2}\geq 1$
Cho $x^2+y^2+z^2=3xyz$
CMR $\frac{x^2}{y+2}+\frac{y^2}{z+2}+\frac{z^2}{x+2}\geq 1$
Từ gt=> xyz$\geq 1$
áp dụng bđt cauchy schwarz : $\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{x^{2}}{z+2}+\frac{z^{2}}{x+2}$$\geq $$\frac{(x+y+z)^{2}}{x+y+z+6}$
Do đó ta cần chứng minh $\frac{(x+y+z)^{2}}{x+y+z+6}$ $\geq 1$
=> x+y+z$\geq 3$
Ta có x+y+z$\geq 3\sqrt[3]{xyz}$$\geq 3$ (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi onpiece123: 22-09-2018 - 21:04
Từ gt=> xyz$\geq 1$
áp dụng bđt cauchy schwarz : $\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{x^{2}}{z+2}+\frac{z^{2}}{x+2}$$\geq $$\frac{(x+y+z)^{2}}{x+y+z+6}$
Do đó ta cần chứng minh $\frac{(x+y+z)^{2}}{x+y+z+6}$ $\geq 1$
=> x+y+z$\geq 3$
Ta có x+y+z$\geq 3\sqrt[3]{xyz}$$\geq 3$ (đpcm)
vậy min=??? dấu bằng xảy ra khi ???
Cách khác:
Từ gt=> xyz ≥ 1=> x+y+z ≥ 3$\sqrt[3]{xyz}$ ≥ 3
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{y+2}{9}\geq2\sqrt[2]{\frac{x^{2}}{y+2}.\frac{y+2}{9}}=\frac{2x}{3}$
CMTT ta cũng có
$\frac{y^{2}}{z+2}+\frac{z+2}{9}\geq\frac{2y}{3}$;$ \frac{z^{2}}{x+2}+\frac{x+2}{9}\geq\frac{2z}{3}$
Cộng các vế lại ta được:
$\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{y^{2}}{z+2}+\frac{z^{2}}{x+2}\geqslant \frac{5\left ( x+y+z \right )}{9}-\frac{2}{3}\geqslant \frac{15}{9}-\frac{2}{3}=1$
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 ^^
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Crab: 07-10-2018 - 14:25
Võ Sĩ Cua
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh