Chủ đề này có 4 trả lời

[huyne123]

Cho $x^2+y^2+z^2=3xyz$

CMR $\frac{x^2}{y+2}+\frac{y^2}{z+2}+\frac{z^2}{x+2}\geq 1$

[onpiece123]

Từ gt=> xyz$\geq 1$

áp dụng bđt cauchy schwarz : $\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{x^{2}}{z+2}+\frac{z^{2}}{x+2}$$\geq $$\frac{(x+y+z)^{2}}{x+y+z+6}$

Do đó ta cần chứng minh $\frac{(x+y+z)^{2}}{x+y+z+6}$ $\geq 1$

 => x+y+z$\geq 3$

Ta có x+y+z$\geq 3\sqrt[3]{xyz}$$\geq 3$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi onpiece123: 22-09-2018 - 21:04

[huyne123]

Từ gt=> xyz$\geq 1$

áp dụng bđt cauchy schwarz : $\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{x^{2}}{z+2}+\frac{z^{2}}{x+2}$$\geq $$\frac{(x+y+z)^{2}}{x+y+z+6}$

Do đó ta cần chứng minh $\frac{(x+y+z)^{2}}{x+y+z+6}$ $\geq 1$

 => x+y+z$\geq 3$

Ta có x+y+z$\geq 3\sqrt[3]{xyz}$$\geq 3$ (đpcm)

vậy min=??? dấu bằng xảy ra khi ???

[onpiece123]

vậy min=??? dấu bằng xảy ra khi ???

x=y=z=1

[Hero Crab]

Cách khác:

Từ gt=>  xyz ≥ 1=> x+y+z ≥ 3$\sqrt[3]{xyz}$ ≥ 3

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

 $\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{y+2}{9}\geq2\sqrt[2]{\frac{x^{2}}{y+2}.\frac{y+2}{9}}=\frac{2x}{3}$ 

CMTT ta cũng có

 $\frac{y^{2}}{z+2}+\frac{z+2}{9}\geq\frac{2y}{3}$;$ \frac{z^{2}}{x+2}+\frac{x+2}{9}\geq\frac{2z}{3}$  

Cộng các vế lại ta được:  

$\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{y^{2}}{z+2}+\frac{z^{2}}{x+2}\geqslant \frac{5\left ( x+y+z \right )}{9}-\frac{2}{3}\geqslant \frac{15}{9}-\frac{2}{3}=1$

 

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Crab: 07-10-2018 - 14:25