Đến nội dung

Hình ảnh

$O_1,O_2,E,F$ đồng viên $\Leftrightarrow P$ là trực tâm $\Delta ABC$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
nhatminhkh2602

nhatminhkh2602

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết

Cho tam giác $ABC(AB<AC),$ đường cao $AD.P$ là một điểm nằm trên $AD;E,F$ lần lượt là hình chiếu $P$ lên các cạnh $AC,AB.O_1,O_2$ lần lượt là tâm $(BDF),(CDE).$ Chứng minh $O_1,O_2,E,F$ đồng viên $\Leftrightarrow P$ là trực tâm tam giác $ABC.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 09-01-2019 - 16:41


#2
halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết

_Khi $P$ là trực tâm $\Delta ABC$ thì hiển nhiên $O_1,O_2,E,F$ đồng viên.

_Khi $O_1,O_2,E,F$ đồng viên, gọi $E',F'$ đối xứng $P$ qua $E,F.$ Qua phép vị tự tâm $P$ tỉ số $2$ suy ra $E',F',B,C$ đồng viên.

Gọi $O$ là tâm $(ABC)$ thì $AO \perp FE \Rightarrow AO \perp E'F',$ lại có $AF'=AP=AE' \Rightarrow AO$ là trung trực $E'F'.$

Lại có $OB=OC \Rightarrow O$ là tâm $(BF'AE'C) \Rightarrow \widehat{APB}= \widehat{AF'B}=180^0- \widehat{ACB} \Rightarrow P$ là trực tâm $\Delta ABC.$

Ta có đpcm.


Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh