Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{m(m+6)}{4}\leq C(m)\leq \frac{m(m+3)}{2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
01634908884

01634908884

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết

Với mỗi số nguyên dương m,kí hiệu C(m) là số nguyên dương k lớn nhất sao cho luôn tồn tại một tập S gồm m số nguyên dương,để mỗi số nguyên 1,2,3,....,k hoặc thuộc S hoặc là tổng hai phần tử thuộc S,(hai phần tử không nhất thiết phân biệt).Chứng minh

$\frac{m(m+6)}{4}\leq C(m)\leq \frac{m(m+3)}{2}$


. Mây tầng nào gặp gió tầng ấy. :D 


#2
nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết

Giải như sau:

Gọi $2$ chiều của bài toán là $i,ii$. Ta có:

$i)$ Gọi tập tổng thỏa mãn bài toán là $|S+S|$, ta dễ có $|S+S|=S+C_S^{2}=\frac{(S^2+S)}{2}=\frac{m(m+3)}{2}$

$ii)$ Ta xây dựng tập thỏa mãn bài toán với $k$ phần tử có $|S+S|$ phủ hết $1$ đến $\frac{m(m+6)}{4}$ như sau:

TH$1$: $m$ chẵn. Đặt $m=2t$ khi đó tập $S=(1,...,t+1,2(t+1)+1,....t(t+1)+(t-1))$ thỏa mãn

Thật vậy, các số từ $1$ đến $2(t+1)$ được tập $T=(1,...,t+1)$ có $|T+T|$ phủ hết

Tương tự như vậy ta thấy các số từ $1$ tới $t(t+1)+2t$ đều được $|S+S|$ phủ

Lại có $\frac{m(m+6)}{4}=t(t+3)=t(t+1)+2t$ nên ta thấy thỏa mãn ngay

Do $C(m)$ là số nguyên dương $k$ mà $k \geq  \frac{m(m+6)}{4}$ (cm trên) nên có ngay ĐPCM

TH$2$: $m$ lẻ. Đặt $m=2t+1$ khi đó tập $S=(1,...,t+1,2(t+1)+1,...,(t+1)(t+1)+t)$ thỏa mãn

Tương tự như trên chú ý rằng $\frac{m(m+6)}{4}=\frac{4t^2+16t+7}{4}=t^2+4t+\frac{7}{4}<(t+1)(t+1)+2t+1=t^2+4t+2$ nên ta có ngay ĐPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 06-10-2018 - 12:28





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh