Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho $x, y, z > 0$ biết $x+y+z=xyz$. Tìm GTNN S= $\sum \frac{x}{y^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Accelerator3008

Accelerator3008

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 23-09-2018 - 07:25

Cho $x, y, z > 0$ biết $x+y+z=xyz$. Tìm GTNN S = $\frac{x}{y^2}$ + $\frac{y}{z^2}$ + $\frac{z}{x^2}$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 01-10-2018 - 19:10


#2 dungxibo123

dungxibo123

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 330 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Toán Nguyễn Thượng Hiền
  • Sở thích:...

Đã gửi 23-09-2018 - 07:50

đặt $a=\frac{1}{x}$ tương tự $b,c$ rồi áp dụng Cauchy Schwarz á bạn


myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 


#3 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 23-09-2018 - 08:07

Cho x, y, z > 0 biết x+y+z=xyz . Tìm min S = $\frac{x}{y^2}$ + $\frac{y}{z^2}$ + $\frac{z}{x^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$\frac{x}{y^2}+\frac{\sqrt{3}}{xy}+\frac{1}{\sqrt{3}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{x}{y^2}.\frac{\sqrt{3}}{xy}.\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{3}{y}$.

Tương tự rồi cộng lại ta được:

$\sum \frac{x}{y^2}+\sqrt{3}\sum \frac{1}{xy}+\sqrt{3}\ge 3\sum \frac{1}{x}(1)$.

Theo giả thiết : $x+y+z=xyz\iff \sum \frac{1}{xy}=1$.

Do đó $(1)\iff \sum \frac{x}{y^2}\ge 3\sum \frac{1}{x}-2\sqrt{3}(2)$.

Mặt khác: $(\sum \frac{1}{x})^2\ge 3\sum \frac{1}{xy}=3\implies \sum \frac{1}{x}\ge \sqrt{3}$.

Do đó $(2)\iff \sum \frac{x}{y^2}\ge \sqrt{3}$.

Vậy $S_{min}=\sqrt{3}$. Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=z=\sqrt{3}$.

 

 


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#4 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1762 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 29-09-2018 - 10:20

Ta đặt $x,\,y,\,z= \frac{1}{a},\,\frac{1}{b},\,\frac{1}{c}$, giả thiết đổi thành $ab+ bc+ ca= 1,\,a,\,b,\,c> 1$

Bài toán này [đã quá quen thuộc không ít lần!], có thể biến đổi về dạng như tìm giá trị nhỏ nhất của: $\sum\limits_{cyc} \frac{a^{2}\left ( 1- 2\,b \right )}{b}+ 2\sum\limits_{cyc} a^{2}$

Giống với: 

https://diendantoanh...yz/#entry711155

Và: 

https://diendantoanh...-2/#entry711543

Kết hợp với: $\sum a^{2}\geqq \sum ab= 1$, ta có: $\sum\limits_{cyc} \frac{x}{y^{2}}\geqq \sqrt{3}$

Dấu bằng xảy ra khi: $x= y= z= \sqrt{3}$ hay $a= b= c= \frac{1}{\sqrt{3}}$, thử lại ta có:

$\sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}\left ( 1- 2\,b \right )}{b}= \sqrt{3} - 2$

 

Spoiler
 

20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh