Đến nội dung

Hình ảnh

TÌM X, Y NGUYÊN DƯƠNG THỎA MÃN: $\sqrt{X}+\sqrt{Y}=\sqrt{X+Y}+2$

- - - - - tìm x y nguyên dương thỏa mã

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
atesqrm

atesqrm

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

TÌM X, Y NGUYÊN DƯƠNG THỎA MÃN: $\sqrt{X}+\sqrt{Y}=\sqrt{X+Y}+2$



#2
Kim Vu

Kim Vu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết

TÌM X, Y NGUYÊN DƯƠNG THỎA MÃN: $\sqrt{X}+\sqrt{Y}=\sqrt{X+Y}+2$

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2(1)$
$\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{xy}=x+y+4\sqrt{x+y}+4$
$\Leftrightarrow \sqrt{xy}=2\sqrt{x+y}+2(2)$
$\Leftrightarrow xy=4(x+y+4)+16\sqrt{x+y}$
$\Rightarrow \sqrt{x+y} \in \mathbb{Q}(3)$
$(1) \Leftrightarrow \sqrt{x}=\sqrt{x+y}+2-\sqrt{y}
\Leftrightarrow x=x+y+4+y+4\sqrt{x+y}-2\sqrt{y}(\sqrt{x+y}+2)$
 Kết hợp với $(3) \Rightarrow \sqrt{y} \in \mathbb{Q}$
Mặt khác từ $(1),(3) \Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y} \in \mathbb{Q}$
Suy ra $ \sqrt{x} \in \mathbb{Q} , \sqrt{y} \in \mathbb{Q}$
Đặt $\sqrt{x}=\frac{m}{n};\sqrt{y}=\frac{p}{q}(m,n,p,q\in \mathbb{N^{*}};GCD(m,n)=1;GCD(p,q)=1$
$\Rightarrow (\frac{m}{n})^2=x \in \mathbb{N^{*}}$
Mà $GCD(m,n)=1$ suy ra $n=1$
Do đó $x=m^2$
Tương tự ta có $y=p^2$
Từ $(1),(2)$ suy ra $2(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1)=\sqrt{xy}$
$\Rightarrow mp=2(m+p-1)$
$\Leftrightarrow (m-2)(p-2)=2$
Từ đây ta tìm được $m=3,p=4$ và $m=4,p=3$
Vậy $(x,y) \in {(9;16),(16;9)}$


 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kim Vu: 23-09-2018 - 16:54


#3
atesqrm

atesqrm

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

cảm ơn bạn KIM VU rất nhiều. 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tìm x y nguyên dương thỏa mã

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh