Chủ đề này có 1 trả lời

[melodias2002]

Cho dãy số $x_1=2, x_{n+1}=\frac{n}{2n+1}(x_n+1)$. CMR $(x_n)$ có GHHH và tìm giới hạn đó

[Kim Vu]

Cho dãy số $x_1=2, x_{n+1}=\frac{n}{2n+1}(x_n+1)$. CMR $(x_n)$ có GHHH và tìm giới hạn đó

Bổ đề : Cho 2 dãy số dương $(a_{n});(b_{n})$ thỏa mãn $a_{n+1} \leq q a_{n} +b_{n}$ trong đó $q\in [0;1]$ và 
$(b_{n})$ bị chặn trên bởi 1 ; $lim b_{n}=0$
Khi đó $lim a_{n}=0$
Chứng minh bổ đề:
Từ $a_{n+1} \leq q a_{n} +b_{n}
\Rightarrow a_{n+1}\leq q^{n-1}a_{1}+b_{n}+qb_{n-1}+...+q^{n-1}b_{1}$
Do $lim  b_{n}=0$ nên tồn tại $n_{0} \in \mathbb{N^{*}}$ sao cho $\forall n\geq n_{0}, b_{n} \leq \epsilon (1-q)$
$\Rightarrow a_{n+1} \leq q^{n-1}a_{1}+\epsilon (1-q)(1+q+q^2+...+q^{n-n_{0}})+q^{n-n_{0}+1}b_{n_{0}-1}+...+q^{n-1}b_{1}$
$=q^{n-1}a_{1}+\epsilon (1-q).\frac{1-q^{n-n_{0}+1}}{1-q}+q^{n-n_{0}+1}b_{n_{0}-1}+...+q^{n-1}b_{1}$
$\leq q^{n-1}a_{1}+\epsilon(1-q^{n-n_{0}+1})+q^{n-n_{0}+1}+...+q^{n-1}$(do $b_{n} <1,\forall n\in N)$
$\Rightarrow a_{n+1} \leq q^na_{1}+\epsilon(1-q^{n-n_{0}+1})+q^{n-n_{0}}.\frac{1-q^{n_{0}}}{1-q}$
Cho $n \rightarrow +\infty,\epsilon \rightarrow 0$ ta có $lima_{n}=0$
Vậy bổ đề đã được chứng minh
Trở lại bài toán $x_{n+1}=\frac{n}{2n+1}(x_n+1)
\Rightarrow x_{n+1}-1=\frac{n}{2n+1}(x_{n}-1)-\frac{1}{2n+1} 
\Rightarrow \left |x_{n+1}-1  \right |=\left |\frac{n}{2n+1}(x_{n}-1)-\frac{1}{2n+1}   \right | \leq \frac{1}{2}\left |(x_{n}-1)  \right | +\frac{1}{2n+1}$
Đến đây áp dụng bổ đề ta có $lim \left |x_{n}-1  \right |$=0 nên $limx_{n}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kim Vu: 23-09-2018 - 16:05