Chủ đề này có 2 trả lời

[canletgo]

Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm I trong tam giác ABC sao cho IA + IB + IC nhỏ nhất.

[Frosty Flame]

Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm I trong tam giác ABC sao cho IA + IB + IC nhỏ nhất.

Thực hiện phép quay tâm B, với góc quay 60 độ biến I thành J và biến A thành A’. Khi đó tam giác BIJ đều, vì BI =BJ và B = 60 độ → BI = IJ. Mặt khác, AI = A’J do phép quay là một phép dời hình biến một đoạn thành một đoạn bằng nó. 
Ta có 

• BI = IJ
• AI = A’J

Vậy S = A’J + JI + IC. Lại là một đường gấp khúc. Để S min thì I, J phải nằm trên đường thẳng A’C sao cho BIJ là tam giác đều. Vậy cách dựng như sau

• Bước 1: Dựng A’ là ảnh của A qua phép quay tâm B một góc 60 độ
• Bước 2: Kẻ BH vuông góc A’C. Sau đó lấy I trên A’C sao cho BHI = 30 độ.

Vậy I là điểm cần tìm

Nguồn: https://diendan.hocm...r-rocky.117942/

[chanhquocnghiem]

Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm I trong tam giác ABC sao cho IA + IB + IC nhỏ nhất.

Chỉnh sửa lời giải của @Frosty Flame :

 

Thực hiện phép quay tâm $B$, góc quay $60^o$ hoặc $-60^o$, biến $I$ thành $J$, $A$ thành $A'$ sao cho $A'$ và $C$ nằm khác phía đối với đường thẳng $AB$. Ta có : $AI=A'J$ ; $IB=JI$

$\Rightarrow S=IA+IB+IC=A'J+JI+IC$.

Để $S$ nhỏ nhất thì $I,J$ phải nằm trên đường thẳng $A’C$ sao cho $\Delta BIJ$ đều. Vậy cách dựng như sau :

 

• Bước 1: Dựng $A'$ là ảnh của $A$ qua phép quay tâm $B$ một góc $60^o$ hoặc $-60^o$ sao cho $A'$ và $C$ nằm khác phía đối với đường thẳng $AB$
• Bước 2: Kẻ $BH\perp A'C$ ($H\in A'C$). Sau đó lấy điểm $I$ thuộc đoạn $HC$ sao cho $\measuredangle HBI=30^o$. Đó là điểm cần tìm.