Chủ đề này có 1 trả lời

[Elena Le]

Cho $\Delta ABC$.

Lấy trên các cạnh AB,BC,CA lần lượt các điểm C₁, A₁,B₁ sao cho 

$\frac{A_{1}B}{A_{1}C}=\frac{B_{1}C}{B_{1}A}=\frac{C_{1}A}{C_{1}B}=k$ (k>o)

Lấy trên các cạnh B₁C₁,C₁A₁,A₁B₁ lần lượt là các điểm A₂, B₂, C_{2 sao cho} 

$\frac{A_{2}B_{1}}{A_{2}C_{1}}=\frac{B_{2}C_{1}}{B_{2}A_{1}}=\frac{C_{2}A_{1}}{C_{2}B_{1}}=\frac{1}{k}$

a) Chứng minh rằng AA₂, BB₂, CC₂ đồng quy

b) Định k để $S_{A_{2}B_{2}C_{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất

 

[Kim Vu]

a)Định lí: $M$ nằm trên đoạn $AB$,$O$ bất kì ta đều có:$\overrightarrow{OM}=\dfrac{MB}{AB}.\overrightarrow{OA}+\dfrac{MA}{AB}\overrightarrow{OB}$
Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$
Ta sẽ chứng minh $AA_{2},BB_{2},CC_{2}$ đồng quy tại $G$
Theo định lí,$\overrightarrow{AA_{2}}=\frac{A_{2}B_{1}}{C_{1}B_{1}}.\overrightarrow{AC_{1}}+\frac{A_{2}C_{1}}{C_{1}B_{1}}.\overrightarrow{AB_{1}}
=\frac{A_{2}B_{1}}{C_{1}B_{1}}.\frac{AC_{1}}{AB}.\overrightarrow{AB}+\frac{A_{2}C_{1}}{C_{1}B_{1}}.\frac{AB_{1}}{AC}.\overrightarrow{AC}=\frac{k}{k+1}.\frac{1}{k+1}.(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{k}{(k+1)^2}.3\overrightarrow{AG}$
Suy ra $A,A_{2},G$ thẳng hàng
Tương tự $B,B_{2},G$ thẳng hàng và $C,C_{2},G$ thẳng hàng nên ta có ĐPCM
b) Theo câu a
$\overrightarrow{AA_{2}}=\frac{k}{(k+1)^2}.3\overrightarrow{AG}$
nên $\frac{AA_{2}}{AG}=\frac{3k}{(k+1)^2}$
Tương tự suy ra $\frac{AA_{2}}{AG}=\frac{BB_{2}}{BG}=\frac{CC_{2}}{CG}=\frac{3k}{(k+1)^2}$
Do đó $\triangle A_{2}B_{2}C_{2} \sim \triangle ABC$ với tỉ số $1-\frac{3k}{(k+1)^2}$
$S_{A_{2}B_{2}C_{2}} $ min $\Leftrightarrow \frac{3k}{(k+1)^2}$ max
Đến đây áp dụng $Cauchy$ ta có $\frac{3k}{(k+1)^2} \leq \frac{3k}{4k}=\frac{3}{4}$
ĐTXR khi $k=1$
Vậy $S_{A_{2}B_{2}C_{2}} $min $\Leftrightarrow k=1$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kim Vu: 25-09-2018 - 12:25