Đến nội dung

Hình ảnh

$M$ nằm trên đường tròn $Euler$ của $\Delta ABC$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
findazy

findazy

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O),$ một đường thẳng $d$ đi qua $O$ cắt hai cạnh $AC$ và $BC.L,K$ là hình chiếu của $A,B$ trên $d.$ Đường thẳng qua $L$ và vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng đi qua $K$ và vuông góc với $AC$ tại $M.$ Chứng minh rằng $M$ nằm trên đường tròn $Euler$ của $\Delta ABC.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 08-01-2019 - 23:32


#2
halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết

Gọi $G$ là hình chiếu của $C$ lên $d$ và $H,I$ là trung điểm $CA,BA.$ Áp dụng định lí $Carnot,$ do

$LB^2-LC^2+KC^2-KA^2+GA^2-GB^2=KC^2-LC^2+LB^2-GB^2+GA^2-KA^2=KG^2-LG^2+LK^2-GK^2+LG^2-LK^2=0$nên $GM \perp AB.$ Do $I$ là trung điểm $CB$ nên $I$ thuộc trung trực $GK \Rightarrow IG=IK.$

Lại chú ý đến các tứ giác nội tiếp $COGI,OIKB$ ta được $\widehat{GIK}= \widehat{GIB}+ \widehat{BIK}= \widehat{GOC}+ \widehat{BOK}= \widehat{BOC}=2 \widehat{BAC}=2 \widehat{GMK}.$

Do đó $I$ là tâm $(GMK) \Rightarrow GI=MI \Rightarrow G$ đối xứng $M$ qua $HI.$ Lại có $G \in (CHI),(CHI)$ đối xứng $(Euler)$ qua $HI \Rightarrow M \in (Euler).$

Ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 08-01-2019 - 23:47

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh