1) Tìm các số nguyên tố p, q sao cho $pq\: |\: p^p+q^q+1$
2) Cho p là số nguyên tố lẻ và $Q(x)=(p-1)x^p-x-1$. Chứng minh tồn tại vô hạn các số nguyên dương a sao cho $p^p\: |\: Q(a)$
3) Chứng minh với mọi số nguyên dương s, luôn tồn tại số nguyên n có tổng các chữ số bằng s, đồng thời s | n
4) Tồn tại hay không số nguyên n>1 sao cho $n\: |\: 2^n-1$?
5) Cho số nguyên tố p>3 và $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1}=\frac{m}{n}$ $(m,n\in \mathbb{N}^*, (m,n)=1)$. Chứng minh $p^2\, |\, m$
6) Cho $n\in \mathbb{N}^*$ và $k\in \left \{0;1;2;...;n \right \}$. Đặt$a_k=(n+1)C^k_n$. Chứng minh $[a_0,a_1,...,a_n]=[1;2;...;n+1]$