Đến nội dung

Hình ảnh

Điều kiện để bán kính hai đường tròn nội tiếp bằng nhau

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
The Truth Untold

The Truth Untold

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\left ( O \right )$. Gọi $E$ là điểm chính giữa của cung $AB$ không chứa $C, D$. Tương tự đối với $F,G,H$ lần lượt thuộc các cung $BC,CD,DA$. Chứng minh rằng: Nếu $EG,FH,AC$ đồng quy thì bán kính đường tròn nội tiếp hai tam giác $ABC$ và $ADC$ bằng nhau.

 

 

Capture1.PNG


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi The Truth Untold: 26-09-2018 - 23:51


#2
The Truth Untold

The Truth Untold

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Tiếp tuyến tại $A$ với $\left(O\right)$ cắt đường thẳng $EH$ tại $K$. $AC,EG,FH$ đồng quy tại $L$. Tiếp điểm của $\left(J\right),\left(I\right)$ với $AC$ lần lượt tại $M,N$.

Áp dụng định lí $Pascal$ cho bộ điểm $\begin{pmatrix} A&H&E \\ C&G&F \end{pmatrix}$, ta có: $I,L,J$ thẳng hàng.

Áp dụng định lí $Pascal$ cho bộ điểm $\begin{pmatrix} A&H&G \\ E&A&C \end{pmatrix}$, ta có: $K,J,L$ thẳng hàng.

Suy ra $K,I,L,J$ thẳng hàng. 

Áp dụng định lí sin cho tam giác $CJL,CIL$, ta có: $\frac{JL}{sinACH}=\frac{JC}{sinCLJ};\frac{IL}{sinACE}=\frac{IC}{sinCLI}$

Suy ra $\frac{JL}{IL}=\frac{sinACH}{sinACE}.\frac{JC}{IC}$.

Áp dụng định lí $Menelaus$ cho tam giác $CEH$, cát tuyến $KIJ$, ta có: $\frac{JC}{JH}.\frac{IE}{IC}.\frac{KH}{KE}=1$

Suy ra $\frac{JC}{IC}=\frac{JH}{KH}.\frac{KE}{IE}$.

Áp dụng định lí sin cho tam giác $ACH,ACE$, ta có: $\frac{AH}{sinACH}=\frac{AC}{sinAHC}=\frac{AC}{sinAEC}=\frac{AE}{sinACE}$

Suy ra $\frac{sinACH}{sinACE}=\frac{AH}{AE}$.

Lại có $H,E$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AJD,AIB$, suy ra $JH=AH,IE=AE$.

Vậy $\frac{JL}{IL}=\frac{AH^{2}}{AE^{2}}:\frac{KH}{KE}=1$ hay $JL=IL$.

Khi đó $\Delta JLM=\Delta ILN$, suy ra $JM=IN$.

Vậy ta có đpcm.

 

 

Capture4.PNG


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi The Truth Untold: 03-10-2018 - 21:31





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh