Chủ đề này có 1 trả lời

[The Truth Untold]

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $\left ( O \right )$. $AB$ cắt $CD$ tại $M$, $AD$ cắt $BC$ tại $N$, $AC$ cắt $BD$ tại $P$. Gọi $K$ là trung điểm $MN$. Đoạn $PK$ cắt $\left ( O \right )$ tại $H$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNH$ tiếp xúc $\left ( O \right )$.

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 08-01-2019 - 23:29

[halloffame]

Vẽ đường tròn qua $M,N$ tiếp xúc trong $(O)$ ở $H'.$ Gọi $ME,NF$ là đường cao $\Delta MNP,FE$ cắt $MN$ ở $I,KP$ cắt $IO$ ở $J.$

Xét cực và đối cực với $(O)$ thì $I \in MN$ là đối cực $P \Rightarrow JP$ là đối cực $I \Rightarrow IJ.IO$ là phương tích của $I$ tới $(O).$

Lại có $IJ.IO=IE.IF=IM.IN$ nên $I$ thuộc trục đẳng phương của $(O),(H'MN) \Rightarrow IH'$ tiếp xúc $(O).$

Vậy $IH' \perp H'O,IH'^2=IJ.IO \Rightarrow H'J \perp IO.$

Theo tính chất quen thuộc thì $\overline{J,P,K},JP \perp IO \Rightarrow H' \in PK \Rightarrow H' \equiv H \Rightarrow (HMN)$ tiếp xúc $(O).$

Ta có đpcm.