Đến nội dung

Hình ảnh

Bất đẳng thức đối xứng

* * * * * 3 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 272 Bài viết

Trong topic này mình sẽ gửi đến 1 số bất đẳng thức đối xứng mình thấy là hay, và mọi người cũng có thể đóng góp các bài bất đẳng thức đối xứng khác cũng như lời giải :)

Bài 1: Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh: 

$$\dfrac{a}{7a+b+c}+\dfrac{b}{7b+a+c}+\dfrac{c}{7c+a+b} \leq \dfrac{49}{243}+\dfrac{32(ab+bc+ca)}{81(a+b+c)^2} $$

$$\text{Lê Khánh Sỹ}$$

Tổng quát hơn là:

$*$Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ và 1 số thực $k \ge 1$. Chứng minh:

$$\dfrac{a}{ka+b+c}+\dfrac{b}{kb+c+a}+\dfrac{c}{kc+a+b} \leq \dfrac{3k^2-4k+28}{\left( k+2\right) ^3}+\dfrac{48(k-1)}{\left( k+2\right) ^3}\dfrac{ab+bc+ca}{\left( a+b+c\right) ^2}$$

Bài 2: Cho các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh bất đẳng thức:
  $$ \dfrac{5-3ab}{1+c}+\dfrac{5-3bc}{1+a}+\dfrac{5-3ac}{1+b} \geqslant ab+bc+ca $$
  $$\text{-Vasile Cirtoaje-}$$

Bài 3: Cho 3 số thực dương $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\dfrac{a^3}{2a^2+bc}+\dfrac{b^3}{2b^2+ac}+\dfrac{c^3}{2c^2+ab} \leqslant \dfrac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$$
$$\text{- Vasile Cirtoaje -}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 02-10-2018 - 15:36


#2
Unrruly Kid

Unrruly Kid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết

Em moi ra bai 3, ranh em dang sol


Đôi khi ngươi phải đau đớn để nhận thức, vấp ngã để trưởng thành, mất mát để có được, bởi bài học lớn nhất của cuộc đời được dạy bằng nỗi đau.

#3
tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 272 Bài viết

 Bài 4: Cho 3 số thực $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \leqslant \dfrac{5}{2}$$

Bài 5:Cho 3 số thực không âm $x, y, z$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh:

$$\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}} + \frac{1}{2} \ge \frac{{5{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{8\left( {xy + yz + zx} \right)}} + \frac{{xyz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 02-10-2018 - 15:34


#4
AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

Bài 4 thế $Ravi$ sau đó dùng $SOS$ hoặc là thuần $C-S$ tách là được

bài 5 SOS


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 04-10-2018 - 09:55

        AQ02

                                 


#5
AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

Bài 3: Nhân 2 ở 2 vế > ta cần chứng minh : $\sum{a}-\sum{\frac{2a^3}{2a^2+bc}}$ $\geqslant {\sum{a} - \dfrac{\sum{a^3}}{\sum{a^2}}}$

tương đương với :  $abc(\sum{\frac{1}{2a^2+bc}})$ $\geq {\frac{\sum{ab(a+b)}-\sum{a^3}}{\sum{a^3}}}$

Đến đây áp dung Schur bậc 3 và $C-S$ cho vế phải ta được : $\frac{9abc}{2(\sum{a^2})+\sum{ab}}\geq{\frac{3abc}{\sum{a^2}}}$

BĐT cuối đúng do nó tương đương với $\sum{a^2}\geq{\sum{ab}}$


        AQ02

                                 


#6
tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 272 Bài viết

Bài 6: Cho 3 số thực không âm $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\left( a+b+c\right)^2\left[\sum ab(a+b)-6abc\right] \leq \left(\sum a^2-\sum ab\right)\left[4(a^3+b^3+c^3)+\dfrac{33abc}{4}\right]  $$
Bài 7: Cho 3 số $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh 1 tam giác (có thể suy biến). Chứng minh:
$$\dfrac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\dfrac{b(a+c)}{b^2+2ac}+\dfrac{c(a+b)}{c^2+2ab} \leq 2$$
Bài 8: Cho 3 số thực không âm $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\dfrac{1}{5a^2-ab+5b^2}+\dfrac{1}{5b^2-bc+5c^2}+\dfrac{1}{5c^2-ac+5a^2} \geq \dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}$$



#7
Unrruly Kid

Unrruly Kid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết

Bài 3: $\sum [\frac{a^3}{a^2+b^2+c^2}-\frac{a^3}{2a^2+bc}]\geq 0$

$\sum \frac{a^3(a^2+bc-b^2-c^2)}{2a^2+bc}\geq 0$

$\sum \frac{a^3[a^2(b+c)-b^3-c^3]}{(b+c)(2a^2+bc)}\geq 0$

$\sum \frac{a^3b(a^2-b^2)+a^2c(a^2-c^2)}{(b+c)(2a^2+bc)}\geq 0 $

$\sum \frac{a^3b(a^2-b^2)}{(b+c)(2a^2+bc)}+\sum \frac{a^3c(a^2-c^2)}{(b+c)(2a^2+bc)}\geq 0$

$\sum \frac{a^3b(a^2-b^2)}{(b+c)(2a^2+bc)}+\sum \frac{b^3a(b^2-a^2)}{(c+a)(2b^2+ca))}\geq 0$

$\sum \frac{ab(a+b)(a-b)^2[2a^2b^2+c(a^3+a^2b+ab^2+b^3)+c^2(a^2+ab+b^2)]}{(b+c)(c+a)(2a^2+bc)(2b^2+ca)}\geq 0$


Đôi khi ngươi phải đau đớn để nhận thức, vấp ngã để trưởng thành, mất mát để có được, bởi bài học lớn nhất của cuộc đời được dạy bằng nỗi đau.

#8
Unrruly Kid

Unrruly Kid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết

Bài 4: Bất đẳng thức được viết lại thành

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq \frac{3}{2}+\frac{\sum (a-b)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$3-(\sum \frac{a}{b+c})=\sum \frac{b+c-a}{b+c}=\sum \frac{(b+c-a)^2}{(b+c)(b+c-a)}\geq \frac{(\sum a)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq \frac{3}{2}+\frac{\sum (a-b)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Hoàn tất chừng minh

Lời giải 2: Đặt $a=x+y;b=y+z;c=z+x$. Bất đẳng thức được viết lại thành

$\sum \frac{x+y}{x+y+2z}\leq \frac{3}{2}+\frac{\sum (x-y)^2}{2[\sum (x+y)^2]}$

$\sum \frac{x+y}{x+y+2z}\leq 3-\frac{2(x+y+z)^2}{\sum (x+y)^2}$

$\sum \frac{-2z}{x+y+2z}\leq \frac{-2(x+y+z)^2}{\sum (x+y)^2}$

$\sum \frac{z}{x+y+2z}\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)}$

Bất đẳng thức cuối đúng theo Cauchy-Schwarz, hoàn tất chứng minh

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Unrruly Kid: 08-10-2018 - 18:08

Đôi khi ngươi phải đau đớn để nhận thức, vấp ngã để trưởng thành, mất mát để có được, bởi bài học lớn nhất của cuộc đời được dạy bằng nỗi đau.

#9
tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 272 Bài viết

Bài 9: Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh:
$$\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab} \geq \dfrac{3}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{3}{2(ab+bc+ca)}$$

Bài 10: Cho 3 số thực dương $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \geq \dfrac{25(a+b+c)^2}{(a+b+c)^3+48abc}$$



#10
tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 272 Bài viết

Lời giải bài 5
Viết lại bất đẳng thức thành:
$$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}-\dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}-\dfrac{11}{8} \geq \dfrac{5(x+y+z)^2}{8(xy+yz+zx)}-\dfrac{15}{8}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}-\dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}-\dfrac{11}{8} \geq \dfrac{5\sum (x-y)^2}{16(xy+yz+zx)}$$
Ta có:
$$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}-\dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}-\dfrac{11}{8}$$
$$=\dfrac{(x+y+z)\sum(x-y)^2}{8(x+y)(y+z)(z+x)}+\dfrac{3}{8}\sum\dfrac{(x-y)^2}{(x+z)(y+z)}$$
$$\geq \dfrac{(x+y+z)\sum(x-y)^2}{8(x+y)(y+z)(z+x)}+\dfrac{3}{8}\dfrac{(\sum (x-y)^2)^2}{\sum(x-y)^2(x+z)(y+z)}$$
Chia cả 2 về cho $\dfrac{\sum (x-y)^2}{8}$, ta cần chứng minh:
$$\dfrac{x+y+z}{(x+y)(y+z)(z+x)}+\dfrac{3\sum(x-y)^2}{\sum(x-y)^2(x+z)(y+z)}\geq \dfrac{5}{2(xy+yz+zx)}$$
Ta có: $(x+y)(y+z)(z+x) \leq (x+y+z)(xy+yz+zx)$
Như vậy ta cần chứng minh:
$$\dfrac{3\sum(x-y)^2}{\sum(x-y)^2(x+z)(y+z)} \geq \dfrac{3}{2(xy+yz+zx)}$$
$$\Leftrightarrow 2\sum (x-y)^2(xy+yz+zx) \geq \sum (x-y)^2(x+z)(y+z)$$
$$\Leftrightarrow \sum (x-y)^2(xy+yz+zx) \geq \sum z^2(x-y)^2$$
$$\Leftrightarrow \sum (x-y)^2[xy+yz+zx-z^2+(z-x)(z-y)] \geq 0$$
$$\Leftrightarrow \sum xy(x-y)^2 \geq 0$$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng.
Hoàn tất chứng minh.
Bất đẳng thức xảy ra tại $x=y=z$ hoặc $x=y, z=0$ và các hoán vị.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 09-10-2018 - 16:22


#11
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$\lceil\,\,8\,\,\rfloor$

 

$\sum\limits_{cyc}\frac{\left ( a+ b+ 2\,c \right )^{2}}{\left ( a+ b+ 2\,c \right )^{2}\left ( 5\,a^{2}+ 5\,b^{2}- ab \right )}\geqq \frac{16\left ( a+ b+ c \right )^{2}}{\sum\limits_{cyc}\left ( a+ b+ 2\,c \right )^{2}\left ( 5\,a^{2}+ 5\,b^{2}- ab \right ) }$, ta cần chứng minh:

 

$16\left ( a+ b+ c^{2} \right )\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )\geqq$ $\sum\limits_{cyc}\left ( a+ b+ 2\,c \right )^{2}\left ( 5\,a^{2}+ 5\,b^{2}- ab \right )\,\,\Leftrightarrow \,\,\sum\limits_{cyc}\left ( 3\,a^{4}+ 3\,a^{3}b- 8\,a^{2}b^{2}+ 2\,a^{2}bc \right ) \geqq 0$

 

$\lceil$ Bất đẳng thức Murihead! $\rfloor$

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh