Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 3 Bình chọn

Bất đẳng thức đối xứng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 268 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 28-09-2018 - 17:00

Trong topic này mình sẽ gửi đến 1 số bất đẳng thức đối xứng mình thấy là hay, và mọi người cũng có thể đóng góp các bài bất đẳng thức đối xứng khác cũng như lời giải :)

Bài 1: Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh: 

$$\dfrac{a}{7a+b+c}+\dfrac{b}{7b+a+c}+\dfrac{c}{7c+a+b} \leq \dfrac{49}{243}+\dfrac{32(ab+bc+ca)}{81(a+b+c)^2} $$

$$\text{Lê Khánh Sỹ}$$

Tổng quát hơn là:

$*$Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ và 1 số thực $k \ge 1$. Chứng minh:

$$\dfrac{a}{ka+b+c}+\dfrac{b}{kb+c+a}+\dfrac{c}{kc+a+b} \leq \dfrac{3k^2-4k+28}{\left( k+2\right) ^3}+\dfrac{48(k-1)}{\left( k+2\right) ^3}\dfrac{ab+bc+ca}{\left( a+b+c\right) ^2}$$

Bài 2: Cho các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh bất đẳng thức:
  $$ \dfrac{5-3ab}{1+c}+\dfrac{5-3bc}{1+a}+\dfrac{5-3ac}{1+b} \geqslant ab+bc+ca $$
  $$\text{-Vasile Cirtoaje-}$$

Bài 3: Cho 3 số thực dương $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\dfrac{a^3}{2a^2+bc}+\dfrac{b^3}{2b^2+ac}+\dfrac{c^3}{2c^2+ab} \leqslant \dfrac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$$
$$\text{- Vasile Cirtoaje -}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 02-10-2018 - 15:36


#2 Unrruly Kid

Unrruly Kid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Gái,Toán

Đã gửi 30-09-2018 - 05:20

Em moi ra bai 3, ranh em dang sol


Đôi khi ngươi phải đau đớn để nhận thức, vấp ngã để trưởng thành, mất mát để có được, bởi bài học lớn nhất của cuộc đời được dạy bằng nỗi đau.

#3 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 268 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 01-10-2018 - 20:07

 Bài 4: Cho 3 số thực $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \leqslant \dfrac{5}{2}$$

Bài 5:Cho 3 số thực không âm $x, y, z$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh:

$$\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}} + \frac{1}{2} \ge \frac{{5{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{8\left( {xy + yz + zx} \right)}} + \frac{{xyz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 02-10-2018 - 15:34


#4 AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên PBC , Vinh, Nghệ An.
  • Sở thích:pp

Đã gửi 04-10-2018 - 09:54

Bài 4 thế $Ravi$ sau đó dùng $SOS$ hoặc là thuần $C-S$ tách là được

bài 5 SOS


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 04-10-2018 - 09:55

        AQ02

                                 


#5 AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên PBC , Vinh, Nghệ An.
  • Sở thích:pp

Đã gửi 04-10-2018 - 10:26

Bài 3: Nhân 2 ở 2 vế > ta cần chứng minh : $\sum{a}-\sum{\frac{2a^3}{2a^2+bc}}$ $\geqslant {\sum{a} - \dfrac{\sum{a^3}}{\sum{a^2}}}$

tương đương với :  $abc(\sum{\frac{1}{2a^2+bc}})$ $\geq {\frac{\sum{ab(a+b)}-\sum{a^3}}{\sum{a^3}}}$

Đến đây áp dung Schur bậc 3 và $C-S$ cho vế phải ta được : $\frac{9abc}{2(\sum{a^2})+\sum{ab}}\geq{\frac{3abc}{\sum{a^2}}}$

BĐT cuối đúng do nó tương đương với $\sum{a^2}\geq{\sum{ab}}$


        AQ02

                                 


#6 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 268 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 04-10-2018 - 17:28

Bài 6: Cho 3 số thực không âm $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\left( a+b+c\right)^2\left[\sum ab(a+b)-6abc\right] \leq \left(\sum a^2-\sum ab\right)\left[4(a^3+b^3+c^3)+\dfrac{33abc}{4}\right]  $$
Bài 7: Cho 3 số $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh 1 tam giác (có thể suy biến). Chứng minh:
$$\dfrac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\dfrac{b(a+c)}{b^2+2ac}+\dfrac{c(a+b)}{c^2+2ab} \leq 2$$
Bài 8: Cho 3 số thực không âm $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\dfrac{1}{5a^2-ab+5b^2}+\dfrac{1}{5b^2-bc+5c^2}+\dfrac{1}{5c^2-ac+5a^2} \geq \dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}$$



#7 Unrruly Kid

Unrruly Kid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Gái,Toán

Đã gửi 05-10-2018 - 12:28

Bài 3: $\sum [\frac{a^3}{a^2+b^2+c^2}-\frac{a^3}{2a^2+bc}]\geq 0$

$\sum \frac{a^3(a^2+bc-b^2-c^2)}{2a^2+bc}\geq 0$

$\sum \frac{a^3[a^2(b+c)-b^3-c^3]}{(b+c)(2a^2+bc)}\geq 0$

$\sum \frac{a^3b(a^2-b^2)+a^2c(a^2-c^2)}{(b+c)(2a^2+bc)}\geq 0 $

$\sum \frac{a^3b(a^2-b^2)}{(b+c)(2a^2+bc)}+\sum \frac{a^3c(a^2-c^2)}{(b+c)(2a^2+bc)}\geq 0$

$\sum \frac{a^3b(a^2-b^2)}{(b+c)(2a^2+bc)}+\sum \frac{b^3a(b^2-a^2)}{(c+a)(2b^2+ca))}\geq 0$

$\sum \frac{ab(a+b)(a-b)^2[2a^2b^2+c(a^3+a^2b+ab^2+b^3)+c^2(a^2+ab+b^2)]}{(b+c)(c+a)(2a^2+bc)(2b^2+ca)}\geq 0$


Đôi khi ngươi phải đau đớn để nhận thức, vấp ngã để trưởng thành, mất mát để có được, bởi bài học lớn nhất của cuộc đời được dạy bằng nỗi đau.

#8 Unrruly Kid

Unrruly Kid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Gái,Toán

Đã gửi 05-10-2018 - 19:40

Bài 4: Bất đẳng thức được viết lại thành

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq \frac{3}{2}+\frac{\sum (a-b)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$3-(\sum \frac{a}{b+c})=\sum \frac{b+c-a}{b+c}=\sum \frac{(b+c-a)^2}{(b+c)(b+c-a)}\geq \frac{(\sum a)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq \frac{3}{2}+\frac{\sum (a-b)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Hoàn tất chừng minh

Lời giải 2: Đặt $a=x+y;b=y+z;c=z+x$. Bất đẳng thức được viết lại thành

$\sum \frac{x+y}{x+y+2z}\leq \frac{3}{2}+\frac{\sum (x-y)^2}{2[\sum (x+y)^2]}$

$\sum \frac{x+y}{x+y+2z}\leq 3-\frac{2(x+y+z)^2}{\sum (x+y)^2}$

$\sum \frac{-2z}{x+y+2z}\leq \frac{-2(x+y+z)^2}{\sum (x+y)^2}$

$\sum \frac{z}{x+y+2z}\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)}$

Bất đẳng thức cuối đúng theo Cauchy-Schwarz, hoàn tất chứng minh

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Unrruly Kid: 08-10-2018 - 18:08

Đôi khi ngươi phải đau đớn để nhận thức, vấp ngã để trưởng thành, mất mát để có được, bởi bài học lớn nhất của cuộc đời được dạy bằng nỗi đau.

#9 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 268 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 09-10-2018 - 14:10

Bài 9: Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh:
$$\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab} \geq \dfrac{3}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{3}{2(ab+bc+ca)}$$

Bài 10: Cho 3 số thực dương $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \geq \dfrac{25(a+b+c)^2}{(a+b+c)^3+48abc}$$



#10 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 268 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 09-10-2018 - 14:33

Lời giải bài 5
Viết lại bất đẳng thức thành:
$$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}-\dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}-\dfrac{11}{8} \geq \dfrac{5(x+y+z)^2}{8(xy+yz+zx)}-\dfrac{15}{8}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}-\dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}-\dfrac{11}{8} \geq \dfrac{5\sum (x-y)^2}{16(xy+yz+zx)}$$
Ta có:
$$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}-\dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}-\dfrac{11}{8}$$
$$=\dfrac{(x+y+z)\sum(x-y)^2}{8(x+y)(y+z)(z+x)}+\dfrac{3}{8}\sum\dfrac{(x-y)^2}{(x+z)(y+z)}$$
$$\geq \dfrac{(x+y+z)\sum(x-y)^2}{8(x+y)(y+z)(z+x)}+\dfrac{3}{8}\dfrac{(\sum (x-y)^2)^2}{\sum(x-y)^2(x+z)(y+z)}$$
Chia cả 2 về cho $\dfrac{\sum (x-y)^2}{8}$, ta cần chứng minh:
$$\dfrac{x+y+z}{(x+y)(y+z)(z+x)}+\dfrac{3\sum(x-y)^2}{\sum(x-y)^2(x+z)(y+z)}\geq \dfrac{5}{2(xy+yz+zx)}$$
Ta có: $(x+y)(y+z)(z+x) \leq (x+y+z)(xy+yz+zx)$
Như vậy ta cần chứng minh:
$$\dfrac{3\sum(x-y)^2}{\sum(x-y)^2(x+z)(y+z)} \geq \dfrac{3}{2(xy+yz+zx)}$$
$$\Leftrightarrow 2\sum (x-y)^2(xy+yz+zx) \geq \sum (x-y)^2(x+z)(y+z)$$
$$\Leftrightarrow \sum (x-y)^2(xy+yz+zx) \geq \sum z^2(x-y)^2$$
$$\Leftrightarrow \sum (x-y)^2[xy+yz+zx-z^2+(z-x)(z-y)] \geq 0$$
$$\Leftrightarrow \sum xy(x-y)^2 \geq 0$$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng.
Hoàn tất chứng minh.
Bất đẳng thức xảy ra tại $x=y=z$ hoặc $x=y, z=0$ và các hoán vị.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 09-10-2018 - 16:22


#11 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 19-11-2018 - 09:27

$\lceil\,\,8\,\,\rfloor$

 

$\sum\limits_{cyc}\frac{\left ( a+ b+ 2\,c \right )^{2}}{\left ( a+ b+ 2\,c \right )^{2}\left ( 5\,a^{2}+ 5\,b^{2}- ab \right )}\geqq \frac{16\left ( a+ b+ c \right )^{2}}{\sum\limits_{cyc}\left ( a+ b+ 2\,c \right )^{2}\left ( 5\,a^{2}+ 5\,b^{2}- ab \right ) }$, ta cần chứng minh:

 

$16\left ( a+ b+ c^{2} \right )\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )\geqq$ $\sum\limits_{cyc}\left ( a+ b+ 2\,c \right )^{2}\left ( 5\,a^{2}+ 5\,b^{2}- ab \right )\,\,\Leftrightarrow \,\,\sum\limits_{cyc}\left ( 3\,a^{4}+ 3\,a^{3}b- 8\,a^{2}b^{2}+ 2\,a^{2}bc \right ) \geqq 0$

 

$\lceil$ Bất đẳng thức Murihead! $\rfloor$

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh