Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 28-09-2018 - 17:13
Đề Thi Chọn Đội Tuyển HSG Lớp 12 THPT Thành Phố Hà Nội Năm 2018-2019
#1
Đã gửi 28-09-2018 - 17:13
#2
Đã gửi 28-09-2018 - 17:19
Bài 1 : $d_{1},d_{2},d_{3},...,d_{k}$ là tất cả các ước nguyên dương của n được sắp xếp theo thứ tự tăng dần . Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất $\left\{\begin{matrix} d_{5}-d_{3}=40\\ 7d_{5}+8d_{7}=3n \end{matrix}\right.$
Ta có : $d_{5} 7d_{7}<3n<15d_{7} => \frac{7}{3}d_{7}n=\left \{ 4d_{7},3d_{7} \right \}$ ( Do $n\vdots d_{7}$)<5d_{7}=>{7}>
Trường hợp 1 : $n=3d_{7}$
$=>\left\{\begin{matrix} n\vdots 3\\ 7d_{5}=d_{7} \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} n\vdots 3\\ n\vdots 7 \end{matrix}\right.$
Nếu $d_{2}=2=> d_{3}=3 ,d_{5}=43$ (Loại do $d_{4}$ phải nhận 2 giá trị 6 và 7 )
Nếu $d_{2}\neq 2 =>d_{2}=3=> d_5> 43. $
$n\vdots 7 => d_3=7 ;d_4=21$
$=> d_5=47$$=> d_7=7d_5=329 => n=987$
Trường hợp 2 : Tương tự
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 28-09-2018 - 17:36
- Tea Coffee và thanhdatqv2003 thích
WangtaX
#3
Đã gửi 28-09-2018 - 17:44
#4
Đã gửi 28-09-2018 - 19:48
Câu $2$:
Từ giả thiết thì $x_1, x_2, x_3$ có số dư khác nhau khi chia cho $p$
Xét trên vành $Z_{p}$ thì $f(x)=ax^2+x(b+1)+c$
Mặt khác $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=0$ mà $f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)(ax_1+ax_2+b+1)$ suy ra $ax_1+ax_2+b+1 \vdots p$
Tương tự thì $ax_2+ax_3+b+1$ chia hết cho $p$ do đó $a(x_1-x_3) \vdots p$ nên $a \vdots p$
Lại có $f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)(ax_1+ax_2+b+1) \vdots p$ nên $b+1 \vdots p$
Từ đó $c \vdots p$ nên rõ ràng $abc+ac=ac(b+1) \vdots p^3$ nên ta có ĐPCM
Câu $3$:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 28-09-2018 - 21:00
- xuanhoan23112002 và Francis Berdano thích
#5
Đã gửi 28-09-2018 - 21:09
Câu $5$
$a)$ Đặt $x_i=\frac{q_i}{s_i} \forall i=\overline{1,n}$, giả thiết bài toán trở thành:
$x_i+\frac{1}{p_i}=\frac{\prod q_i + \prod s_i}{\prod_{j\neq i}^{n}q_j.s_i} \in Z^{+} \forall i=\overline{1,n}$
Từ đó nhân tất cả các phân số lại, theo nhị thức Newton sau khi khai với tử số đối xứng, dễ dàng có $\prod s_i \vdots \prod q_i \vdots \prod s_i$ nên $\prod s_i =\prod q_i$ nên $\prod x_i=1$ và ta có ĐPCM
$b)$ Từ câu a dễ có $s_i=2 \forall i=\overline{1,n}$, bài toán quy về tim số bộ nghiệm phân biệt của pt: $\prod q_i=2^n$
Do VP là lũy thừa của $2$ nên các phần tử ở VT có dạng $2^{a_i}$, bài toán lại quy về tìm số nghiệm không âm của pt: $a_1+...+a_n=n$
Đây chính là bài toán đêm kẹo Euler quen thuộc, đáp số của nó là $C(n-1,2n-1)$ và ta hoàn tất cm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 28-09-2018 - 21:12
- thanhdatqv2003, Francis Berdano và Frosty Flame thích
#6
Đã gửi 29-09-2018 - 15:47
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh