Kì thi chọn đội tuyển quốc gia năm học 2018-2019 tỉnh Lâm Đồng
#1
Đã gửi 28-09-2018 - 21:25
#2
Đã gửi 28-09-2018 - 22:58
Bài 6:
Phân hoạch các điểm thành các tập sau cho dễ nhìn
$A_{i}=(2018(i-1)+1;2018(i-1)+2;...;2018i)$ với $i=1,2018$
Khi gọi $B_{i}$ tập con các phần tử có dạng $2018(i-1)+k$ với $k=1,2014$ của tập $A_{i}$ phải liên kết với phần tử có dạng tương ứng của tập $B_{i+1};B_{i+2};B_{i+3}$ (Coi như chỉ số $i$ là nhỏ nhất)
Khi đó số tứ giác tối đa được tạo thành từ các điểm trên là $\left \lfloor \frac{2018}{4} \right \rfloor.2014=1015056$ tứ giác
Xét các tập $C_{i}=A_{i}\setminus B_{i}$ với $i=1,2018$
Khi đó xét bảng ô vuông $4\times 2018$ trong đó trên mỗi dòng thứ $i$ được điền các phần tử theo thứ tự tăng dần của tập $C_{i}$
Khi đó số lượng các tứ giác tối đa có thể tạo thành chính là số cách xếp tối đa các tetromino $(1\times 4)$ trên bảng theo chiều ngang hoặc dọc sao cho không có $2$ tetromino nào đè lên nhau khi đó dễ dàng đếm được số lượng tối đa là $2018$ tứ giác
Vậy tối đa là $1015056+2018=1017074$ tứ giác
Bài 5:
Thay $x=0$ suy ra $f(y).f(0)=0$
=> $f(0)=0$
thay $y=-1$ suy ra $xf(x)+f(x^{2}).f(-1)=0$
=> $f$ là hàm lẻ
nếu ( dễ thấy nếu $f(1)=0$ thì $f(x)=0$ với mọi $x$
=> $f(x^{2})=\frac{xf(x)}{f(1)}$
thay vào => $xf(x+xy)=xf(x)+\frac{xf(x)}{f(1)}.f(y)$
=> $f(x+xy)=f(x)+\frac{f(x)f(y)}{f(1)}$
thay $y=1$ có $f(2x)=2f(x)$=> $f(2)=2f(1)$
thay $x=y=1$ vào pt ban đầu có $f(2)=f(1)+f(1)^{2}$ => $f(1)=1$
=>$f(x+xy)=f(x)+f(x).f(y)$
thay $y=x-1$ => $f(x^{2})=f(x)+f(x).f(x-1)$ ma $f(x^{2})=xf(x)$
=> $(x-1)f(x)=f(x-1)f(x)$
=> $f(x)=0$ hoặc $f(x)=x$ ( dễ cm ko đồng thời xảy ra cả $2$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 29-09-2018 - 22:55
Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi
#3
Đã gửi 29-09-2018 - 13:00
Bài $1$: Đổi biến $(2y,x) \rightarrow (a,b)$
Khi đó $PT(2)$ tương đương với $a+a\sqrt{a^2+1}=b+b\sqrt{b^2+1}$ trừ $2$ vế cho nhau ta có $a=b$ do $\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}>1$
Thay vào $PT(1)$ thì ta có $(x^2+1)(x+2\sqrt{x})=6$
Xét $x<1$ thì $VT<6$, $x>1$ thì $VP>6$ do đó $x=2$. Thử lại ta có $(x,y)=(2,1/4)$ là nghiệm của HPT đã cho
Bài $2$: Ta cm bằng quy nạp hệ thức $x_{2n}=2x_n(x_{n-1}+x_{n+1})(*)$và $x_{2n+1}=x_nx_{n+2}+x_{n-1}x_{n+1}$
$a)$ $AKM+AKN=ABL+ACL=180$ và $LKN+OLK=AKM+90-ACL=90$ nên dễ có ĐPCM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 29-09-2018 - 13:01
- bigway1906, yeutoan2001 và Francis Berdano thích
#4
Đã gửi 29-09-2018 - 15:49
Câu hình là đề chọn đội Vĩnh Phúc năm ngoái.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh