Ta định nghĩa đa tạp Stiefel $V_{k}(\mathbb{R^{n}}) = V(k,n)$ là đa tạp chứa tất cả các ma trận trực giao cỡ $n \times k$ và có hạng $k$ trên một trường $\mathbb{R},\mathbb{C}$ ( ở đây ta xét thực là đủ ) hoặc tương đương là tập các đơn cấu tuyến tính từ $\mathbb{R^{k}} \to \mathbb{R^{n}}, k \leq n$. Topo trên đa tạp Stiefel cho bởi topo con thừa hưởng tử tập các ma trận $n \times k$, ở đây các ma trận $n \times k$ nhận topo từ $\mathbb{R}^{n \times k}$.
Tiếp theo ta định nghĩa đa tạp Grassmann $Gr_{k}(\mathbb{R}^{n})=Gr(k,n)$ là tập tất cả các không gian con tuyến tính $k$ chiều của $\mathbb{R}^{n}$. Khi đó có một song ánh $V(k,n) \to Gr(k,n)$ gửi mỗi hệ trực chuẩn ( các hàng của mỗi ma trận trong $V(k,n)$ ) đến không gian con sinh bởi hệ này. Nó thực sự là một toàn ánh theo phép trực giao hóa Gram-Schmidt. Như vậy topo trên đa tạp Grassmann có thể nhận topo thương phổ dụng làm cho ánh xạ này liên tục.
Đặt $E_{k}(\mathbb{R^{n}}) = E(k,n) = \left \{ (W,\omega): W \in Gr(k,n), \omega \in W \subset \mathbb{R}^{n} \right \}$ khi đó phép chiếu $(W,\omega) \to W$ biến $E(k,n) \to Gr(k,n)$ thành một phân thớ vector. Lấy giới hạn ta có:
$$E_{k}=E(k,\infty)= E_{k}(\mathbb{R}^{\infty}) = \lim E_{k}(\mathbb{R}^{n})$$
$$G_{k}= Gr(k,\infty) = G_{k}(\mathbb{R}^{\infty}) = \lim Gr_{k}(\mathbb{R}^{n})$$
$$V_{k}=V(k,\infty)= V_{k}(\mathbb{R}^{\infty}) = \lim V_{k}(\mathbb{R}^{n})$$
Cho ta một phân thớ vector $p: E_{k} \to G_{k}$ mà theo Hatcher là một phân thớ phổ dụng, tức là mọi phân thớ vector $k$ chiều trên không gian topo $X$ đều là pull-back của $p: E_{k} \to G_{k}$. Hơn nữa ánh xạ pull-back định nghĩa một song ánh tập hợp:
$$[X,G_{k}] \to Vect^{k}(X)$$
Nhưng tính phổ dụng của $G_{k}$ còn có thể nhìn theo một góc độ khác, nếu ta gọi $T_{k}(\mathbb{R}^{n})$ là các ma trận cỡ $(n\times k)$ có hạng $k$ và lấy giới hạn $T_{k}(\mathbb{R})^{\infty}$, ta có thể kiểm tra $T(k,\infty),V(k,\infty)$ có tính chất cầu ( aspherical ) ( $\pi_{n}T(k,\infty) = 0 \forall n \geq 0$ ), hơn nữa nó nhận một tác động tự do, transitive của nhóm Lie compact $GL(k,\mathbb{K})$ và $O(k)$ ( resp, ) nên có một $GL(k,\mathbb{R})$ - phân thớ phổ dụng và một $O(k)$ - phân thớ phổ dụng: ( lần lượt )
$$T(k,\infty) \to T(k,\infty)/GL(k,\mathbb{R})= Gr(k,\infty)$$
$$V(k,\infty) \to T(k,\infty)/O(k)=Gr(k,\infty)$$
Như vậy $Gr(k,\infty) = BGL(k,\mathbb{R}) = BO(k)$ nên $Vect^{k}(X) = Prin_{GL(k,\mathbb{R})}(X) = [X,BGL(k,\mathbb{R})] = [X, Gr_{k}(\mathbb{R}^{\infty})]=[X,BO(k)]=Prin_{O(k)}(X)$. Câu hỏi của mình là hai phân thớ $E(k,\infty) \to G(k,\infty)$ và $T(k,\infty) \to Gr(k,\infty)$ đều là phổ dụng. Liệu có một cách nhìn rõ ràng nào về mối liên hệ giữa $E(k,\infty)$ và $T(k,\infty)$ không?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 29-09-2018 - 11:55