Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Phân thớ phổ dụng trên đa tạp Grassmann

đa tạp phân thớ

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1560 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Being and Algebraic Geometry

Đã gửi 29-09-2018 - 00:55

Ta định nghĩa đa tạp Stiefel $V_{k}(\mathbb{R^{n}}) = V(k,n)$ là đa tạp chứa tất cả các ma trận trực giao cỡ $n \times k$ và có hạng $k$ trên một trường $\mathbb{R},\mathbb{C}$ ( ở đây ta xét thực là đủ ) hoặc tương đương là tập các đơn cấu tuyến tính từ $\mathbb{R^{k}} \to \mathbb{R^{n}}, k \leq n$. Topo trên đa tạp Stiefel cho bởi topo con thừa hưởng tử tập các ma trận $n \times k$, ở đây các ma trận $n \times k$ nhận topo từ $\mathbb{R}^{n \times k}$.

Tiếp theo ta định nghĩa đa tạp Grassmann $Gr_{k}(\mathbb{R}^{n})=Gr(k,n)$ là tập tất cả các không gian con tuyến tính $k$ chiều của $\mathbb{R}^{n}$. Khi đó có một song ánh $V(k,n) \to Gr(k,n)$ gửi mỗi hệ trực chuẩn ( các hàng của mỗi ma trận trong $V(k,n)$ ) đến không gian con sinh bởi hệ này. Nó thực sự là một toàn ánh theo phép trực giao hóa Gram-Schmidt. Như vậy topo trên đa tạp Grassmann có thể nhận topo thương phổ dụng làm cho ánh xạ này liên tục.

Đặt $E_{k}(\mathbb{R^{n}}) = E(k,n) = \left \{ (W,\omega): W \in Gr(k,n), \omega \in W \subset \mathbb{R}^{n} \right \}$ khi đó phép chiếu $(W,\omega) \to W$ biến $E(k,n) \to Gr(k,n)$ thành một phân thớ vector. Lấy giới hạn ta có:

$$E_{k}=E(k,\infty)= E_{k}(\mathbb{R}^{\infty}) = \lim E_{k}(\mathbb{R}^{n})$$

$$G_{k}= Gr(k,\infty) = G_{k}(\mathbb{R}^{\infty}) = \lim Gr_{k}(\mathbb{R}^{n})$$

$$V_{k}=V(k,\infty)= V_{k}(\mathbb{R}^{\infty}) = \lim V_{k}(\mathbb{R}^{n})$$

Cho ta một phân thớ vector $p: E_{k} \to G_{k}$ mà theo Hatcher là một phân thớ phổ dụng, tức là mọi phân thớ vector $k$ chiều trên không gian topo $X$ đều là pull-back của $p: E_{k} \to G_{k}$. Hơn nữa ánh xạ pull-back định nghĩa một song ánh tập hợp:

$$[X,G_{k}] \to Vect^{k}(X)$$

Nhưng tính phổ dụng của $G_{k}$ còn có thể nhìn theo một góc độ khác, nếu ta gọi $T_{k}(\mathbb{R}^{n})$ là các ma trận cỡ $(n\times k)$ có hạng $k$ và lấy giới hạn $T_{k}(\mathbb{R})^{\infty}$, ta có thể kiểm tra $T(k,\infty),V(k,\infty)$ có tính chất cầu ( aspherical ) ( $\pi_{n}T(k,\infty) = 0 \forall n \geq 0$ ), hơn nữa nó nhận một tác động tự do, transitive của nhóm Lie compact $GL(k,\mathbb{K})$ và $O(k)$ ( resp, ) nên có một $GL(k,\mathbb{R})$ - phân thớ phổ dụng và một $O(k)$ - phân thớ phổ dụng: ( lần lượt )

$$T(k,\infty) \to T(k,\infty)/GL(k,\mathbb{R})= Gr(k,\infty)$$

$$V(k,\infty) \to T(k,\infty)/O(k)=Gr(k,\infty)$$

Như vậy $Gr(k,\infty) = BGL(k,\mathbb{R}) = BO(k)$ nên $Vect^{k}(X) = Prin_{GL(k,\mathbb{R})}(X) = [X,BGL(k,\mathbb{R})] = [X, Gr_{k}(\mathbb{R}^{\infty})]=[X,BO(k)]=Prin_{O(k)}(X)$. Câu hỏi của mình là hai phân thớ $E(k,\infty) \to G(k,\infty)$ và $T(k,\infty) \to Gr(k,\infty)$ đều là phổ dụng. Liệu có một cách nhìn rõ ràng nào về mối liên hệ giữa $E(k,\infty)$ và $T(k,\infty)$ không?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 29-09-2018 - 11:55

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#2 Heuristic

Heuristic

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-06-2020 - 07:20

$O(k)$ là nhóm Lie các ma trận trực giao hạng $k$ phải không? Bạn giải thích $BO(k)$ là gì được không? Mình không thấy định nghĩa của không gian này.



#3 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1560 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Being and Algebraic Geometry

Đã gửi 20-06-2020 - 14:44

$O(k)$ là nhóm Lie các ma trận trực giao hạng $k$ phải không? Bạn giải thích $BO(k)$ là gì được không? Mình không thấy định nghĩa của không gian này.

Nó là không gian phân loại (classifying space). Với mỗi nhóm Lie $G$ thì ta có các $G$-phân thớ chính (principal bundles), không gian phân loại $BG$ đi cùng với một $G$-phân thớ phổ dụng (universal bundle) $EG \to BG$ sao cho mọi $G$-phân thớ khác chẳng qua chỉ là kéo lùi (pull-back) của phân thớ phổ dụng này. Ví dụ đa tạp Grassmann là không gian phân loại cho phân thớ chính trên nhóm tuyến tính tổng quát.


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#4 Heuristic

Heuristic

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-06-2020 - 05:41

Bạn có thể giải thích một chút về cách xây dựng không gian phân loại được không? Mình có đọc một số tài liệu nhưng không hiểu lắm. Thí dụ với một nhóm hữu hạn $G$, ta có thể định nghĩa $G$-phân thớ và không gian phân loại $BG$ được không? Thí dụ $G=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ chẳng hạn (nếu cần tô pô thì chọn tô pô rời rạc nhé)?






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh