Đến nội dung

Hình ảnh

Không tồn tại hai tập hợp A và B

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Thong Nhat

Thong Nhat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

1) Cho số nguyên tố p có dạng p=4k+3, các số $a_1,a_2,...,a_{p-1}$ là các số nguyên dương liên tiếp. Chứng minh rằng: Không tồn tại các tập hợp A, B thỏa mãn:

i/ $A\, \cap \, B=\varnothing , A\neq \varnothing ,B\neq \varnothing$

ii/ $A\cup B=\left \{ a_1,a_2,...,a_{p-1} \right \}$

iii/ $\prod_{x\in A} x=\prod_{y\in B}y$

2) Cho $n\in \mathbb{N}^*$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương có n chữ số lẻ chia hết cho $5^n$

3) a) Cho $a,b \in \mathbb{N}^*$ thỏa (a, b)=1. Chứng minh với mọi số nguyên n, n>ab thì tồn tại $x,y \in \mathbb{N}^*$ sao cho n=ax+by

b) Cho $a,b,c \in \mathbb{N}^*$ thỏa (a, b,c)=1. Chứng minh với mọi số nguyên n, n>ac+b thì tồn tại $x,y,z \in \mathbb{N}^*$ sao cho n=ax+by+cz

 


#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$\lceil\,\,3\,\,\rfloor$

 

$\lceil$ Định lý Bezout : $\rfloor$ Là định lý khẳng định rằng nếu $a,\,b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thì tồn tại $x,\,y$ sao cho $ax+ by= 1$ .

Không mất tính tổng quát trong chứng minh, ta giả sử $b> a$ ( vai trò của $a$ và $b$ là như nhau ) nên $b> 1$ .

Vì $\left ( a,\,b \right )= 1$ nên theo định lý Bezout , tồn tại $2$ số nguyên $u,\,v$ sao cho :

$$\text{N}= au+ bv$$

Mặt khác , $u= bq+ r\,\,\left ( 0\leqq r\leqq b- 1 \right )$ nên ta có :

$$\text{N}= a\left ( bq+ r \right )+ bv= ar+ b\left ( v+ aq \right )$$

Chọn $x= r,\,y= v+ aq\,\,\Rightarrow \,\,\text{N}= ax+ by$ với $0\leqq x\leqq b- 1$ và có tính duy nhất ! Thật vậy :

Giả sử tồn tại $2$ bộ $\left ( x,\,y \right )$ và $\left ( {x}^{\,'},\,{y}^{\,'} \right )$ thỏa $0\leqq x,\,{x}^{\,'}< b$ và:

$$\text{N}= ax+ by= a{x}^{\,'}+ b{y}^{\,'}$$

$$\Leftrightarrow \,\,a\left ( x- {x}^{\,'} \right )= b\left ( y- {y}^{\,'} \right )\,\,\xrightarrow[\,\,\,\,]{\,\left ( a,\,b \right )= 1}\,\,b\,\mid\,x- {x}^{\,'}$$

Lại có $0\leqq x\leqq b- 1$ nên suy ra : $x= {x}^{\,'},\,y= {y}^{\,'}$ . Ta có điều phải chứng minh ( ! )



#3
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$\lceil\,\,3\,\,\rfloor$

 

$\lceil$ Định lý Bezout : $\rfloor$ Là định lý khẳng định rằng nếu $a,\,b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thì tồn tại $x,\,y$ sao cho $ax+ by= 1$ .

Không mất tính tổng quát trong chứng minh, ta giả sử $b> a$ ( vai trò của $a$ và $b$ là như nhau ) nên $b> 1$ .

Vì $\left ( a,\,b \right )= 1$ nên theo định lý Bezout , tồn tại $2$ số nguyên $u,\,v$ sao cho :

$$\text{N}= au+ bv$$

Mặt khác , $u= bq+ r\,\,\left ( 0\leqq r\leqq b- 1 \right )$ nên ta có :

$$\text{N}= a\left ( bq+ r \right )+ bv= ar+ b\left ( v+ aq \right )$$

Chọn $x= r,\,y= v+ aq\,\,\Rightarrow \,\,\text{N}= ax+ by$ với $0\leqq x\leqq b- 1$ và có tính duy nhất ! Thật vậy :

Giả sử tồn tại $2$ bộ $\left ( x,\,y \right )$ và $\left ( {x}^{\,'},\,{y}^{\,'} \right )$ thỏa $0\leqq x,\,{x}^{\,'}< b$ và:

$$\text{N}= ax+ by= a{x}^{\,'}+ b{y}^{\,'}$$

$$\Leftrightarrow \,\,a\left ( x- {x}^{\,'} \right )= b\left ( y- {y}^{\,'} \right )\,\,\xrightarrow[\,\,\,\,]{\,\left ( a,\,b \right )= 1}\,\,b\,\mid\,x- {x}^{\,'}$$

Lại có $0\leqq x\leqq b- 1$ nên suy ra : $x= {x}^{\,'},\,y= {y}^{\,'}$ . Ta có điều phải chứng minh ( ! )

$\lceil$ Định lý Sylvester ( ! ) $\rfloor$ Cho $\left ( \text{a},\,\text{b} \right )$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau . $\text{N}_{\,0}= \text{ab}- \text{a}- \text{b}$ là số nguyên lớn nhất không biểu diễn được dưới dạng $\text{ax}+ \text{by}$ với $\text{x},\,\text{y}$ là các số nguyên không âm . Hơn nữa , với mọi $\text{p},\,\text{q}$ nguyên với $\text{p}+ \text{q}= \text{N}_{\,0}$ , có đúng một trong hai số $\text{p},\,\text{q}$ biểu diễn được dưới dạng $\text{ax}+ \text{by}$ với $\text{x},\,\text{y}$ là các số nguyên không âm .



#4
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Có thuật toán hiệu quả để tìm các số $\text{x},\,\text{y}$ : $\lceil$ https://vi.wikipedia..._Euclid_mở_rộng $\rfloor$

$\lceil\,\,3\,\,\rfloor$

 

$\lceil$ Định lý Bezout : $\rfloor$ Là định lý khẳng định rằng nếu $a,\,b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thì tồn tại $x,\,y$ sao cho $ax+ by= 1$ .

Không mất tính tổng quát trong chứng minh, ta giả sử $b> a$ ( vai trò của $a$ và $b$ là như nhau ) nên $b> 1$ .

Vì $\left ( a,\,b \right )= 1$ nên theo định lý Bezout , tồn tại $2$ số nguyên $u,\,v$ sao cho :

$$\text{N}= au+ bv$$

Mặt khác , $u= bq+ r\,\,\left ( 0\leqq r\leqq b- 1 \right )$ nên ta có :

$$\text{N}= a\left ( bq+ r \right )+ bv= ar+ b\left ( v+ aq \right )$$

Chọn $x= r,\,y= v+ aq\,\,\Rightarrow \,\,\text{N}= ax+ by$ với $0\leqq x\leqq b- 1$ và có tính duy nhất ! Thật vậy :

Giả sử tồn tại $2$ bộ $\left ( x,\,y \right )$ và $\left ( {x}^{\,'},\,{y}^{\,'} \right )$ thỏa $0\leqq x,\,{x}^{\,'}< b$ và:

$$\text{N}= ax+ by= a{x}^{\,'}+ b{y}^{\,'}$$

$$\Leftrightarrow \,\,a\left ( x- {x}^{\,'} \right )= b\left ( y- {y}^{\,'} \right )\,\,\xrightarrow[\,\,\,\,]{\,\left ( a,\,b \right )= 1}\,\,b\,\mid\,x- {x}^{\,'}$$

Lại có $0\leqq x\leqq b- 1$ nên suy ra : $x= {x}^{\,'},\,y= {y}^{\,'}$ . Ta có điều phải chứng minh ( ! )

Hơn nữa , chứng minh mọi số tự nhiên nhỏ hơn $\text{ab}$ nếu biểu diễn được dưới dạng $\text{ax}+ \text{by}$ với $\text{x},\,\text{y}$ tự nhiên thì biểu diễn đó là duy nhất !






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh