1) Cho số nguyên tố p có dạng p=4k+3, các số $a_1,a_2,...,a_{p-1}$ là các số nguyên dương liên tiếp. Chứng minh rằng: Không tồn tại các tập hợp A, B thỏa mãn:
i/ $A\, \cap \, B=\varnothing , A\neq \varnothing ,B\neq \varnothing$
ii/ $A\cup B=\left \{ a_1,a_2,...,a_{p-1} \right \}$
iii/ $\prod_{x\in A} x=\prod_{y\in B}y$
2) Cho $n\in \mathbb{N}^*$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương có n chữ số lẻ chia hết cho $5^n$
3) a) Cho $a,b \in \mathbb{N}^*$ thỏa (a, b)=1. Chứng minh với mọi số nguyên n, n>ab thì tồn tại $x,y \in \mathbb{N}^*$ sao cho n=ax+by
b) Cho $a,b,c \in \mathbb{N}^*$ thỏa (a, b,c)=1. Chứng minh với mọi số nguyên n, n>ac+b thì tồn tại $x,y,z \in \mathbb{N}^*$ sao cho n=ax+by+cz