Chủ đề này có 1 trả lời

[Drago]

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $(x+y)(y+z)(z+x)=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{\sqrt{xy}+1}+\frac{\sqrt{y^2+yz+z^2}}{\sqrt{yz}+1}+\frac{\sqrt{z^2+zx+x^2}}{\sqrt{zx}+1} \ge \sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 29-09-2018 - 22:26

[ntbt273]

$VT=\sum \frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{\sqrt{xy}+1}\geq \sum \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{x+y}{\sqrt{xy}+1}\geq \sqrt{3}\sum \frac{x+y}{x+y+2}$

Đặt a=x+y; b=y+z ; c=z+x . bất đẳng thức được viết lại như sau: 

$\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\geq 1 <=> \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\leq 1 <=> 3 \leq ab+bc+ca (luôn đúng vì a.b.c=1)$