Chủ đề này có 1 trả lời

[zipienie]

1/ Cho $(\sqrt {{y^2-x^3}} - x)(\sqrt {{x^2} + y^3} - y) =y^3$ , chứng minh rằng \[x + y = 0\]

2/ Cho $(\sqrt {{x^2+y^4}} - x)(\sqrt {{y^2} + x^4} - y) \le x^2 y^2$ , chứng minh rằng \[x + y \ge 0\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 07-02-2019 - 13:32

[DOTOANNANG]

$\lceil\,\,\it{2}\,\,\rfloor$

Xét $\it{x},\,\it{y}< \it{0}$ , khi đó : $\it{x}^{\,\it{2}}\,\it{y}^{\,\it{2}}= \left ( \sqrt{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{4}}}- \it{x} \right )\,\left ( \sqrt{\it{y}^{\,\it{2}}+ \it{x}^{\,\it{4}}}- \it{y} \right )\geqq \it{x}^{\,\it{2}}\,\it{y}^{\,\it{2}}$ , ...

Nên vô lý !

Xét $\it{x}> \it{0}> \it{y}$ ( không mất tính tổng quát trong chứng minh , ta giả sử ... ) , khi đó ( đổi $\it{y}$ thành $-\,\it{y}$ ) :

 

$\it{x}^{\,\it{2}}\,\it{y}^{\,\it{2}}\geqq \left ( \sqrt{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{4}}}- \it{x} \right )\left ( \sqrt{\it{y}^{\,\it{2}}+ \it{x}^{\,\it{4}}}+ \it{y} \right )$ với $\it{0}< \it{x}< \it{y}$ .

$\it{x}^{\,\it{2}}\it{y}^{\,\it{2}}\geqq \sqrt{\left ( \it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{4}} \right )\left ( \it{y}^{\,\it{2}}+ \it{x}^{\,\it{4}} \right )}- \it{xy}+ \it{y}\sqrt{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{4}}}- \it{x}\sqrt{\it{y}^{\,\it{2}}+ \it{x}^{\,\it{4}}}> \sqrt{\left ( \it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{4}} \right )\left ( \it{y}^{\,\it{2}}+ \it{x}^{\,\it{4}} \right )}- \it{xy}\geqq \left ( \it{xy}+ \it{x}^{\,\it{2}}\it{y}^{\,\it{2}} \right )- \it{xy}= \it{x}^{\,\it{2}}\it{y}^{\,\it{2}}$

 

Nên $\it{y}\sqrt{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{4}}}- \it{x}\sqrt{\it{y}^{\,\it{2}}+ \it{x}^{\,\it{4}}}> \it{0}$  tương đương : $\it{y}> \it{x}$ , ...

Cũng vô lý !

Nên ta có điều phải chứng minh (!)