Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangkimca2k2]

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n>1$ thì $3^{n}-2^{n}$ không chia hết $n$

[Tea Coffee]

Bài sử dụng cấp số nguyên trong quyển Number Theory của Titu.

Hoặc gõ "cấp số nguyên" lên google rồi file doc thứ 3 trên xuống.

[WaduPunch]

Giả sử tồn tại n thoả mãn đề bài

Vì $n\geq 2 = > p\geq 5$ 

Mặt khác: Gọi p là ước nguyên tố nhỏ nhất của n, ta có:

$3^n \equiv 2^{n} \left ( mod p \right )$

Tồn tại số nguyên a sao cho $\left ( 3a \right )^{n} \equiv \left ( 2a \right )^{n} \equiv 1 \left ( mod p\right )$

Gọi h là số tự nhiên nhỏ nhất để $\left ( 3a \right )^{h} \equiv 1 \left ( mod p \right )$

nên theo tính chất cấp số nguyên ta có

$n \vdots h$

Lại có: Áp dụng định lí Fermat nhỏ thì $\left ( 3a \right )^{p-1}\equiv 1\left ( mod p\right )$ (vì $p\geq 5$) nên theo tính chất cấp số nguyên ta cũng có 

$p-1 \vdots h = > h \leq p-1< p$ mà $n\vdots h$ và p là ước nguyên tố nhỏ nhất của n $= > h= 1$ $= > \left ( 3a \right ) \equiv 1 \left ( mod p\right  )$ và $\left ( 2a \right )\equiv 1\left ( mod p\right )$ $= > a\vdots p = >$ Vô lí

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WaduPunch: 24-10-2018 - 21:48