$A=\prod_{i=1}^{p-1}(i^2+1)$
$\equiv \prod_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}(i^2+1)^2$(do $i^2 \equiv (p-i)^2(mod p),\forall i=1,\frac{p-1}{2}$)
Xét đa thức $P(x)=\prod_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}(x-i^2)-(x^{\frac{p-1}{2}}-1)$
Đa thức trên có bậc $<\frac{p-1}{2}$ và phương trình $P(x) \equiv 0(mod p)$ có $\frac{p-1}{2}$ nghiệm không đồng dư modulo $p$ là $1^2,2^2,...,(\frac{p-1}{2})^2$ nên theo định lí Lagrange đa thức trên có tất cả các hệ số đều chia hết cho $p$
Do đó $P(-1) \equiv 0$(mod p)
$\Rightarrow \prod_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}(i^2+1) \equiv 2$ (mod p)
$\Rightarrow A \equiv 4$(mod p)